2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第8讲函数与方程教案理（含解析）新人教A版.docx

第8讲函数与方程基础知识整合1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(x区间D)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(x区间D)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1已知实数a1,0b1,0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a0(x0)，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(3)ln 30，f(2)ln 210，所以f(2)f(3)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.6(2019泉州模拟)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析函数g(x)f(x)m有3个零点，转化为f(x)m0的根有3个，进而转化为yf(x)，ym的交点有3个画出函数yf(x)的图象，则直线ym与其有3个公共点又抛物线的顶点为(1,1)，由图可知实数m的取值范围是(0,1)核心考向突破考向一函数零点所在区间的判断例1(1)(2019扬州模拟)设函数yx2与yx2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析因函数yx2与yx2的图象交点为(x0，y0)，则x0是方程x2x2的解，也是函数f(x)x2x2的零点函数f(x)单调递增，f(2)22130，f(1)1210，f(1)f(2)0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内故选B.(2)(2019包头模拟)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab()A0 B2 C5 D7答案C解析f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为单调递增函数，x02,3，即a2，b3，ab5.触类旁通 判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断即时训练1.(2018南昌调研)函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)答案B解析易知f(x)ln ln (x1)在(1，)上单调递减且连续，当1x2时，ln (x1)0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点f(2)1ln 11，f(3)ln 2，22.828e，所以8e2，即ln 82，所以f(3)0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数因为fe40，f(0)20，fe20，所以ff0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.考向二函数零点个数的讨论例2(1)(2019福州期末)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.故选C.(2)(2019南昌模拟)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1,1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9 B10 C11 D18答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10.故选B.触类旁通 确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.即时训练3.(2019乐山模拟)函数f(x)x2|x|的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析由f(x)x2|x|，得f(x)(x)2|x|f(x)，f(x)为偶函数，且在(0，)上单调递增，又f(0)f(1)0，f(x)在(0，)上有且仅有1个零点函数f(x)的零点个数为2，故选C.4(2018大连模拟)函数f(x)(x1)ln x1的零点有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析由f(x)(x1)ln x10，得ln x，作出函数yln x，y的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1，选B.考向三函数零点的应用角度1利用零点比较大小例3(1)(2019承德模拟)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案C解析在同一平面直角坐标系中作出函数y2x，ylogx的图象，由图象可知，当0x0a时，有2x0logx0，即f(x0)0.(2)已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x1x3 Bx1x2x3Cx1x3x2 Dx3x2x1答案B解析令y12x，y2ln x，y31，因为函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则y12x，y2ln x，y31的图象与yx的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y12x，y2ln x，y31及yx的图象如图，结合图象可得x1x2x3，故选B.触类旁通 在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较.即时训练5.(2019广东七校联考)已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且x0x1，则f(x1)的值()A恒为负 B等于零C恒为正 D不大于零答案A解析由于函数f(x)xlog3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)0，当x0x1时，一定有f(x1)0.故选A.6(2018武汉调研)已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y2x和函数y的图象，如图所示由图象可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x01.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，则由函数图象可知，f(x1)0.角度2由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析作出函数f(x)的图象，再作出直线yx并上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)xa有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足a1，即a1，故选C.(2)若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_答案解析因为函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，所以方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，因为x1,1，所以2x，所以2.所以实数a的取值范围是.触类旁通 已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解.即时训练7.(2019唐山模拟)当x1,2时，若函数yx2与yax(a0)的图象有交点，则a的取值范围是_答案解析当a1时，显然成立当a1时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足22a2，即1a ；当0a1时，如图所示，要使两个函数图