2020版高考数学第十一章计数原理、概率、随机变量及分布列第2讲排列与组合教案理新人教A版.docx

第2讲排列与组合基础知识整合1排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.2组合与组合数(1)组合 从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.3.排列数、组合数的公式及性质解决排列组合问题的“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配 1(2019厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为()AC B2C C. D.答案A解析共11名同学排成一排有11个位置从11个位置中选出5个位置，共有C种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排2若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为()A4 B8 C12 D24答案B解析根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有C4(种)；第二步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法故不同的站法共有428(种)，故选B.3若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有()A84种 B98种 C112种 D140种答案D解析由题意分析不同的邀请方法有：CCC11228140(种)4(2019衡阳质检)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A12种 B24种 C30种 D36种答案B解析第一步选出2人选修课程甲有C6种方法；第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22种选法，根据分步乘法计数原理，有6424种选法5甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A30种 B36种 C60种 D72种答案A解析(1)若甲乙所选2门课程都不相同，则有CC6种方法；(2)若甲乙所选2门课程有1门相同，先从4门课程中选择1门相同的课程共有C种方法，再从剩余的3门课程中选择2门课程分配给甲乙两人共有A种方法，故此类共有CA种方法，所以一共有CCCA30种方法6(2019合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A250个 B249个 C48个 D24个答案C解析当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A24(个)由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有242448(个)故选C.核心考向突破考向一排列问题例1(1)(2019佛山模拟)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个答案B解析当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA72个，所以比40000大的偶数共有4872120个选B.(2)某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午(前四节)，体育排在下午(后两节)，则不同的排法种数是()A720 B120 C144 D192答案D解析由题意要求数学排在上午(前四节)，体育排在下午(后两节)，排法有CC8(种)，然后排其余的4门课，排法有A24(种)，所以不同的排法种数是824192.(3)(2019湖北黄冈模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为_答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1AA72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2AA12种，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.触类旁通排列应用问题分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.即时训练1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24 C30 D36答案C解析排除法先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A6种，所以共有CAA30种分法故选C.2从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A48 B72 C90 D96答案D解析根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分两种情况讨论：选出的4人中没有甲，不同的参赛方案有A24(种)；选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，不同的参赛方案有A24(种)，则此时不同的参赛方案共有32472(种)综上，不同的参赛方案共有247296(种)故选D.3(2017天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)答案1080解析当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为CCA960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A120.故符合题意的四位数一共有9601201080(个)考向二组合问题例2(1)将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有()A92种 B112种 C82种 D132种答案B解析设有A，B两个笔筒，笔放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法也随之确定，且对同一笔筒的笔没有顺序要求，故总的放法为CCCC112(种)(2)(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)答案16解析根据题意，没有女生入选有C4种选法，从6位学生中任意选3人有C20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20416种(3)某学校开设校本选修课，其中人文类4门A1，A2，A3，A4，自然类3门B1，B2，B3，其中A1与B1上课时间一致，其余均不冲突一位同学共选3门，若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有_种选课方式(用数字填空)答案25解析当人文类选1门，自然类选2门时，共有CC12种；当人文类选2门，自然类选1门时，共有CC18种；而A1与B1上课时间一致，所以A1与B1不能同时选，它们同时选的有CC5种，所以该同学共有1218525种选课方式触类旁通组合问题常有的两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.即时训练4.(2019山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法共有()A6种 B12种 C18种 D24种答案C解析类：物理、化学、生物三科选一科，政治、历史、地理三科中选两科，有CC9种选法；类：物理、化学、生物三科选两科，政治、历史、地理三科中选一科，有CC9种选法，所以考生共有9918种选考方法故选C.5(2019陕西质检)将2名教师、4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种答案A解析安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C种方案；第二步安排学生，有C种方案其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有CC12(种)故选A.6某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为_答案86解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CCCCC31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CCCCC34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为CCCC21.所以入选的方法种数共有31342186.考向三排列、组合的综合应用角度1特殊元素(位置)问题例3(1)(2019福建漳州联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A34种 B48种 C96种 D144种答案C解析特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有CAA96(种)故选C.(2)从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有()A180种 B280种C96种 D240种答案D解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4人中选择一人参加，有C种方案，然后从剩下的5人中选择3人参加剩下3科，有A种方案，故共有CA460240种方案故选D.角度2相邻、相间问题例4(1)(2019江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A12种 B24种 C18种 D36种答案D解析元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C3种选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A12种安排方法，则不同的乘坐方式有312 36种故选D.(2)(2018贵阳模拟)3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？解第1步，3名男生站成一排，有A种排法；第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空当或后3个空当中，有2A种插法由分步乘法计数原理可知，共有2AA72种排法角度3分组、分配问题例5(1)(2019合肥模拟)现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A36 B9 C18 D15答案B解析分配方案为2,1,1，其中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有CA种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C种分法因此共有CAC9种不同的分法故选B.(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法答案360解析将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60种取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6种分法，故共有606360种不同的分法触类旁通解排列、组合综合应用问题的思路即时训练7.(2019惠州二调)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A24 B18 C16 D10答案D解析分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为ACA10.故选D.86名同学站成一排照相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为()A60 B96 C48 D72答案C解析把乙和丙，丁和戊