高考数学总复习第六章数列第34讲等差数列及其前n项和练习理新人教版.docx

第34讲等差数列及其前n项和夯实基础【p73】【学习目标】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列的判断方法3掌握等差数列求和的方法【基础检测】1数列an是等差数列，a11，a48，则a5()A16 B16 C32 D.【解析】因为a48，所以a13d8，又因为a11，所以d，可得a5a14d.【答案】D2已知等差数列an中，若a415，则它的前7项和为()A120 B115 C110 D105【解析】由题得S7(a1a7)2a47a4715105.【答案】D3在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()AanBanCanDan【解析】由可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.【答案】A4记Sn为等差数列的前n项和，若S945，a3a812，则a7等于()A10 B9 C8 D7【解析】S99a545a55，而a3a812a5a612，a67.2a6a5a7，a79.【答案】B5设等差数列an的前n项和为Sn，若a111, a3a76，则当Sn取得最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9【解析】由题设d2，则Snn2(111)nn212n，所以当n6时，Snn212n最小【答案】A【知识要点】1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d(nN*)3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anak(nk)d(n，kN*)(2)若an为等差数列，且mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(3)若an是等差数列，公差为d，则an，anm，an2m，(n，mN*)是公差为_md_的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d(nN*)6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n(nN*)数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数，nN*)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值典例剖析【p73】考点1等差数列基本量的计算(1)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A5 B4 C3 D2【解析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果由此得：d3.【答案】C(2)已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_【解析】a7a52d4，d2，a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.【答案】3【点评】在求解等差数列的基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加简捷考点2等差数列的性质及应用(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18 B99 C198 D297【解析】因为a3a927a6，2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.【答案】B(2)已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_【解析】法一：设数列an的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.【答案】20【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立考点3等差数列的判定与证明令 bn，数列bn为等差数列，则非零常数c的值为_【解析】bn，c0，数列bn为等差数列，bn2n.得到c.【答案】已知数列an满足a11，an1(nN)，bn.(1)证明：数列bn为等差数列(2)求数列an的通项公式【解析】(1)a10，且有an1，所以有an0(nN*)，则有bn1bn，即bn1bn(nN*)且b11，所以bn是首项为1，公差为的等差数列(2)由(1)知bnb1(n1)1，即，所以an.【点评】等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于n2的任意自然数，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列解答题中证明问题通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题考点4等差数列前n项和的最值问题已知an是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且4Sn(an1)2.(1)求a1，a2的值及an的通项公式；(2)求数列的最小值【解析】(1)因为4Sn(an1)2，所以，当n1时，4a1(a11)2，解得a11，所以，当n2时，4(1a2)(a21)2，解得a21或a23，因为an是各项为正数的等差数列，所以a23，所以an的公差da2a12，所以an的通项公式ana1(n1)d2n1.(2)因为4Sn(an1)2，所以Snn2，所以Snann2(2n1)n27n.所以，当n3或n4时，Snan取得最小值.方法总结【p74】1等差数列的判定方法有定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法，注意等差数列的证明只能用定义法2方程思想和基本量思想：在解有关等差数列问题时可以考虑化归为首项与公差等基本量，通过建立方程组获得解3用函数思想理解等差数列的通项公式和前n项和公式，从而解最值问题走进高考【p74】1(2018全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12【解析】法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd，a12，d3，a5a14d24(3)10.【答案】B2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【解析】(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.考点集训【p214】A组题1在等差数列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()A37 B36 C20 D19【解析】ama1a2a99a1d36da37.【答案】A2记Sn为等差数列的前n项和，若a71，a1S49，则数列中的最小项为()AS1 BS5，S6 CS4 DS7【解析】令等差数列的公差为d，则解得a15，d1，有ann6，Sn，则当n5或6时，Sn最小【答案】B3已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k()A21 B22 C23 D24【解析】3an13an2an1anan是等差数列，则ann.akak10，0，k，k23.【答案】C4设an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是()A. d0 B. a70C. S9S5D. S6与S7均为Sn的最大值【解析】由S50，又S6S7，所以a70.由S7S8，得a8S5，即a6a7a8a902(a7a8)0.由题设a70，a80.(1)求证：当n5时，an成等差数列；(2)求an的前n项和Sn.