分块阵的初等变换求秩习题课(哈工大线性代数课件王宝玲版).ppt

1,说明B 的每一列都是齐次线性方程组 AX= 0 的一个解.,*例4,A为一子块,尤其要注意 时的特殊情况:,2,的不同理解:,例5,3,本节内容提要, 利用分块矩阵的初等变换求秩, 分块矩阵的初等变换,2.8 分块矩阵的初等变换, 分块初等阵,4,对分块矩阵也可以引进初等变换和 初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的 一次初等变换,可以看作是关于元素的 一批初等变换的合成.我们只以分成4块 的情况简单解释.,设,2.8.1 分块矩阵的初等变换,5,定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 统称为分块矩阵的初等变换: 初等行变换 初等列变换 (1)换法: (2)倍法: (3)消法:,这里要假定运算满足可行性原则. 为什么要求P 可逆?,6,分块初等阵,2.8.2 分块初等阵,换法:,倍法:,消法:,7,对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：,换法:,8,消法:,倍法:,9,10,例1,求 ,其中A，B 可逆.,解,11,总结：常用的分块矩阵求逆公式,设 A, B 都是可逆方阵, 则有下列公式.,12,证,例2,用分块方法证明,其中A、B为n阶方阵.,或,13,例3,证,14,例4,证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中 A 为mn阶矩阵, B为nm阶阵.,证,15,利用上式可得,时可见书上的说明.,16,注 本例的结果可以把m阶的行列式转化 为n阶的行列式计算, 此时可称为 (降阶公式). 尤其是当n =1时,即A为1列B为1行时, 等式的右端即为1个数.,17,例5,计算,解,18,19,复习 秩的运算性质（1）,若A 是mn 矩阵,则,1. 0r(A)minm,n,2. r(AT)=r(A),4. r(A1)r(A),(A1为 A的子阵),20,2.8.3 秩的运算性质（2）,证 设,5.,则存在可逆阵 使,21,令,22,6.,证 设,则存在可逆阵 使,令,23,24,例1,证,7.,25,8. r(A+B)r(A)+r(B),证,证,r(A)=r(A 0)=,r(A AB)r(AB),例2,9.,26,证,r(A)+r(B),且 AB = 0 时，,10.A为 矩阵,B为 矩阵,且 AB = 0 时,有,27,5.,6.,7.,8.,秩的运算性质（2）,且 AB = 0时，,10.A为 矩阵,B为 矩阵,则,9.,28,矩 阵,基本运算,逆 矩 阵,初等变换,秩,分块矩阵,线性运算(加法、数乘),乘法方幂(求方幂的方法),转 置,定义及运算性质,求 法,伴随矩阵法,初等变换法,初等阵,等秩、等价，行阶梯、标准形,定 义,性 质10条,求 法：初等(行)变换,加, 数乘, 乘,幂, 转置, 逆, 初等变换,行列式乘法公式,定义法,判 别5条,应用：线性方程组,29,可逆的判别(5条),A与E 等价,PAQ=E,为初等阵,使,可逆,A E,30,伴随矩阵,1.基本公式:,2.求逆:若A可逆,3.性质:,(n2),(n2),31,1.求方幂:4,5,11,22,23(注意秩为1的矩阵).,2.求逆:8(矩阵多项式方程 )14,16.,4.初等变换初等阵:21,32.补充题.,5.涉及伴随矩阵:25,26,34.,6.求秩:证明秩的等式:19,20.,7.分块阵:21,27,30,31,32,33.,8.证明题:17,18,28,29.,第二章常见的题型,32,例1,解,求方幂,可知,所以,33,34,例2,A可逆,将A的i,j 两行互换得B, 求 .,解,35,例3,其中A可逆,则,36,解,应选择( C ).,37,例4,解,因为,所以,即,所以,38,所以,用初等变换可求出逆为,可逆.,39,例5,为3阶非零矩阵，,设,解,40,设A与B是两个n阶非零方阵，满足 AB = 0，则A与B的秩为 （A）都等于n.（B）必有一个为零. （C）都小于n.（D）若其中一个等于n, 则另一个必小于n.,解,因为A 0, B 0, r(A)1, r(B) 1,所以A与B的秩都小于n.,例6,41,例7,设A为43阶矩阵,且r(A)=2,而,则,解1,B为可逆阵,则可写成初等阵之积, AB即相当于对A进行初等列变换, 初等变换不变秩,故r(AB)=r(A)=2.,解2,故 r(AB)=r(A)=2.,2,解3,42,例8,设A为n阶幂等矩阵,即 , 求证,证,故,43,设A 为n阶矩阵(n2), A*是A的伴随 矩阵,则有 (A) (A*)*=|A|n-1A (B) (A*)*=|A|n+1A (C) (A*)*=|A|n-2A (D) (A*)*=|A|n+2A,例9,解,(1)当A可逆时,知A*可逆,(2)若A不可逆,则|A|=0,r(A)n,r(A*)*=0,所以(A*)*=0=0A=0.结论成立.,44,若A为n阶矩阵(n2), 则,证,(1) 如果r(A)=n, 由A*A=|A|E知A*可逆, 从而r(A*)=n. (2) 如果r(A) n-2, 由A*的定义知 A*= 0 r(A*)=0. (3)如果r(A)=n-1, A* 0, r(A*) 1. 又|A|=0, A*A=0, r(A) + r(A*) n r(A*) n-r(A)=1 r(A*)=1.,例10,45,证,由,得,故A可逆.,不妨设,例11,将 按第k 行展开，,由已知 A*=AT, AAT=|A|E,|A| 2(|A|-1)=0,所以由|A|0知|A|=1.,得到|A|2= |A|3 ,46,设 A, B 为n 阶方阵,证明,证,例12,47,例13,设4 阶矩阵A=(1 2 3 4), B=(1 2 3 4) . 如果A=1,B=2, 那么A+B的值为: (A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 24,A+B=|1+1 22 23 24 |,解,应选(D).,= 23 |1 + 1 2 3 4 |,=23 (A+B) =24,48,下次作习题二中的部分习题,49,（例11）设A=(aij