吴正国高等数字信号处理第6章小波变换.ppt

第四节 小波包,为提高高频段频率分辨率，而对小波空间再进行 多尺度剖分,一、正交小波包的定义与性质,1、定义：给定正交尺度函数( t ) 及正交小波 函数( t ) ，若令,则双尺度方程可记为,定义函数序列：,称此函数序列为由( t ) 生成的小波包。,2、正交小波包的频潽,若令,对s0位的二进制整数n可记为,3、正交小波包的性质(为简便计，假定实函数),用数学归纳法可证：,对于s0+1位二进制整数n，不超过0.5n的最大整数可记为,正交性对于n=0或1时皆成立，所以使用数学归纳法。即令上式对于二进制位数不超过s0位的所有整数成立，需证明该式对于二进制位数不超过(s0+1)位的整数n成立,n相同时正交小波包函数整数平移正交,n为相邻奇偶数时正交小波包函数整数平移正交,二、空间的正交小波包分解,1、空间算子,完全重构(c=1,k=0),单位算子,2、 j 尺度空间,定理：如果上述空间序列对n大于等于零、j为全体整数成立，则有,证明：第一式是小波包性质2的结果，仅需证第二式， 即证合空间的基为两子空间基的线性组合。,3、平方可积空间的正交小波包分解,kj=0时Wj不分解，kj 表示分解的程度,随着尺度的增加，频窗半径減小，频率分辨 率增加，但时间分辨率下降。,4、小波库与小波包基,称为由( t ) 所导出的小波包库。 n 为振荡参数 j 为尺度参数 l 为平移参数,从小波库中抽取的、能构成平方可积空间 的一组正交基称之小波包基。,选择不同的,组合，将给出,不同的小波包基。,三、小波包变换及快速算法,1、正交小波包变换,从小波库中选择一组最佳小波包基，则有,正交小波包变换,为 f ( t ) 在,子空间的投影系数，,f ( t )在上式各子空间投影系数的集合，称之 f ( t ) 的正交小波包变换。,正交小波包变换算法,定理：如果令,则有,正交小波包逆变换,2、双正交小波包,定义,性质,平方可积空间分解,算子的性质：,注意：是空间”合”的关系，而非”直和”。,双正交小波包算法,重构式,分解式,注意：重构与分解应分别用互为对偶的函数,3、最优小波包基的选择,按不同信号分析的要求，如何从小波包库中 选择一组最优的小波包基。,最优代价函数(以数据压缩为例),代价函数为关于序列 x (n ) 的实函数M ( x ( n ),信息熵：,对数熵：,具有可加性：,集中度最大为优，对于上述代价函数则是最 小化为优。,对于信号分类，则可选择描述两序列相对信 息含量的相对熵；对于子带分解，可选择各子 帶间的互相关函数为代价函数等。,快速搜索算法-单树算法,在各子空间内，以小波包系数为元素计算M,时变小波包分解算法-双树算法,对于时变信号，在不同的时间段取不同的 小波包分解方案。,实现步骤：假定待分解信号按时变性质可分 为A、B、C、D四段，则可首先按单树算法求最优子空间分解方案，然后计算分为不同段组合的最优子空间分解方案，再在此基础上形成第二个 树-时间树，最后在时间树上搜索最优小波包基,注意在每个时 间分段的最优 基搜索中，信 号长度的二进 制缩短是子空 间分解(高、低 通滤波)的结果。,第五节 小波提升方案 (lifting scheme),第一代小波：构造方法依赖富里叶变换，时域 上依赖 伸缩平移变换；算法相对复杂，且有有限字长效应问题。,第二代小波：(90年代中期提出) 不依赖富里叶变换，直接从时域上实现小波构造(尤其是按予定要求构造双正交小波)；可提供一种比mallat算法更快速的小波级数分解和重构算法；实現整数小波变换，并能实現同址处理。,一、提升策略的基本原理,1、Vetterli-Herley定理：对于所给定的双正交尺 度函数 和 ，其对应的双尺度序列为 和 ，那么所有满足如下条件的序列 与 也将满足双正交关系。反之亦然。(下式中 为一个三角函数多项式。,上述定理的证明可由双正交滤波器组的重构 条件证明之，不过表示方法上有如下改动：,由已知条件,证明下式成立即可,上述定理说明：在已给定的双正交尺度函数(相 应的序列)基础上，可以通过设计 而得到新的 双正交尺函数(相应的序列)。不仅如此，由于双 正交小波函数(相应的序列)的依赖关系，我们可 以进一步得到新的双正交小波函数(相应的序列)：,注意该序列不变,应用上述定理还可得到小波提升的基本公式：,注意：提升前的一对双正交小波序列为：,所以小波提升过程保留了原来的双正交尺 度函数(相应序列)中的一个尺度函数(相应序列) 和对偶的一个小波函数(相应序列)，而其余的一 个尺度函数(相应序列)及对偶的一个小波函数 (相应序列)都己变化。,显然，按不同需求设计不同的三角函数多项式 ，将得到满足不同需求的双正交小波，固提 升方案被誉为用户定制的小波设计方法。,2、设计举例： 令原来的双正交序列满足：,参阅教材可知它们相应的双正交滤波器组对应的小波函数也应为双正交小波。,懒(Lazy)小波,现固定H0()，进行小波提升，要求提升后的小波 函数具有二阶消失矩，并滤波器为线性相位 二阶消失 矩即意味着,考虑到线性相位要求，可选,3、交替提升：由于在一对双正交尺度函数(序列)中，其关系是互为对偶的。因此，在一次提升之后，可针对上次提升中保持不变的尺度函数(序列)，进行再次提升，称之交替提升。,二、Swelden算法： 利用原小波级数计算提升后的小波级数。,1、双正交小波变换公式：,2、基于提升的分解算法,令,注意提升过程只在本尺度级内进行,注意到上述提升中H0固定，而提升另一尺度函数，即相当于提升G0，所以原小波变換的d不变，而c发生变化。若需交替提升，可选定适当的提升函数，提升0,而保持G0不变，即小波变換的C不变,而d按下式变化,3、重构算法,4、算法流图： 从以上推导可知，双正交小波变换的提升算法是在原mallat算法基础上，进行交替提升(滤波)的结果，其算法流图为,该算法运算量的节省在于使用了计算量最小 的懒小波进行mallat运算。,使用该序列进行滤波相当于对序列奇偶分开， 所以运算量很小。,三、基于懒小波的提升算法,若将懒小波变换作为提升算法的第一步，将第次提升看作予测(P)，将第次提升看作更新,则有如下表示： 1、懒小波变换：奇偶分裂,2、予测(predict)：为去原信号的相关性，使用偶子集予测奇子集，