《概率论与统计原理》第1章.ppt

第一章 事件的概率,1.1 随机事件和样本空间 1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象 确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象 随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的现象，其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性,2、随机试验 对随机现象的观察称为随机试验，简称为试验，用字母E来表示 随机试验的特点： （1）可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行 （2）可观测性 每次试验的可能结果不止一个，而且事先能明确试验的所有可能结果 （3）随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现的结果 一些随机试验的例子： E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数,E2：记录一段时间内某城市110报警次数 E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2，b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品的情况 E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时间 E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一枚长度为l（la）的针投掷下去，投掷n次后，观察针与平行线相交的数目 E6：向坐标平面区域D：x2 +y2100内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点M的坐标,1.1.2 随机事件 随机试验的每一个可能的结果称为事件，用大写字母A，B，C，等表示。事件分为： 基本事件是指不能再分解的事件 复合事件是指由若干基本事件组成的事件 必然事件指每次试验中都肯定出现的结果，用 表示 不可能事件指在每次试验中都不出现的结果，用表示,1.1.3 样本空间 一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为样本空间，用来表示；其中每一个基本事件称为样本点，用来表示 ，即 =。 随机试验E1，E2，E6所对应的样本空间如下： 1 = 1，2，6 2 = 0，1，2， 3 = (a1a2)， (a1a3)， (a2 a3) ，(a1 b1)，(a1 b2)，(a1b3)，(a2 b1) ，(a2 b2 )，(a2 b3)，(a3 b1)，(a3 b2)，(a3 b3)，(b1b2)，(b1 b3)，(b2b3),4 = x：x0 5 =0，1，2， ，n 6 =(x，y) ： x2 +y2100 1.2 事件的关系和运算 1.2.1 事件的关系和运算 1、事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作A B或B A,2、事件的相等 如果事件A包含事件B，同时事件B也包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B 3、事件的和（并） “事件A与事件B至少有一个发生”的事件，称为事件A与事件B的和（或并），记作AB或A+B 设A1，A2，An为n个事件，则“事件A1，A2，An中至少有一个发生”这一事件，称为事件A1，A2，An的并，记为A1A2An 或A1+A2+An,4、事件的积（交） “事件A与事件B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的积（或交），记作AB或AB 设A1，A2，An为n个事件，则“事件A1，A2，An同时发生”这一事件，称为事件A1，A2，An的交，记为A1A2An 或A1A2An 5、事件的差 “事件A发生而事件B不发生”的事件，称为事件A与事件B的差，记作A-B,6、互不相容（互斥）事件 如果事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B是互不相容 7、对立事件 对于事件A，“事件A不发生”这一事件，称为A的对立事件（或逆事件），记作 1.2.2 事件与集合的关系 事件与集合的对应关系 事件的文氏图 1.2.3 事件的运算性质,1、交换律 A+B = B+A，AB = BA 2、结合律 （A+B）+C =A+（B+C），（AB）C =A（BC） 3、分配律 （A+B）C =（AC）+（BC） （A-B）C=（AC）-（BC） 4、德摩根律,例1 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件： （1） A发生且B与C至少有一个发生 （2） A与B发生而C不发生 （3） A，B，C中至少有一个发生 （4） A，B，C中至少有两个发生 （5）A，B，C中不多于一个发生 （6） A，B，C中恰好有一个发生,1.3 随机事件的概率 1.3.1 概率的统计定义 设在n次重复试验中事件A出现了nA次，则称比值 为事件A发生的频率，记作fn（A），即 fn（A）= 1.3.2 古典型概率 古典概型 ： （1）有限性 试验只产生有限个基本事件； （2）等可能性 每次试验中各个基本事件发生的可能性相同,古典型概率的定义： 设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型，事件A包含m个基本事件，则事件A的发生的概率为 P（A）= 例2 用0，1，2，9共10个数字中的任意两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，求字码之和为3的概率。 例3 箱中有100个外形相同的产品，其中60件正品，40件次品。现在从这100件产品中任意抽取3件，分别按有放回和无放回两种方式，求其中有2件次品的概率。,例4 设箱中有a个白球和b个黑球，从中任意不放回地取出k个（1ka+b）球，求第k次取出的球是白球的概率。 例5 一批产品有N件，其中M （MN）件是次品。从中任意取出n（nN）件产品（不放回），求其中恰有k（kM）件次品的概率。 1.3.3 几何型概率 设试验的结果可用某一区域内的点的随机位置来确定，且点落在的任意位置是等可能的。事件A的概率为 P（A）=,例6 设在一个5104平方公里的海域里，有表面积达40平方公里的大陆架蕴藏有石油如果在这片海域里随意选定一点钻探，问能钻到石油的概率是多少？ 例7 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控。监控期为L单位时间，该期间内随时可提取尿样化验。设该人员随即可能复吸且复吸后S单位时间内尿样呈阳性反应，问该人员复吸并被检验出的概率是多少？,1.4 概率的公理化定义 1.4.1 概率的三条公理（概率的公理化定义） 公理1 0P（A）1 公理2 P（）=1 公理3 对两两不相容的事件A1，A2，有,1.4.2 概率的性质 性质1 P() = 0 性质2 设A1，A2，An 是两两不相容的事件，则有 性质3 对任何事件A，有,性质4 对任何事件A，B，有 P(A-B) = P(A) - P(AB) 特别地，若 ，则 （1） P(A)P(B) ；（2）P(A-B)=P(A)-P(B) 性质5 对任何事件A，B，有 P（A+B）= P（A）+P（B）-P（AB） 推论 P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C） -P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）,例8 袋中有6个球，其中4白2黑。分别用有放回和不放回两种方法取球，求（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率。 例9 一副扑克牌（52张），从中任取13张，求至少有1张A的概率。 例10 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（BC）=1/16，P（AB）=0，求事件A，B，C都不发生的概率。,1.5 条件概率和事件的独立性 1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下，事件 A的条件概率为 理解条件概率的意义 例11 某产品共有10件，其中3件为次品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，若已知第一次取到的是次品，求第二次再取次品的概率。,例12 设某地区历史上从某次特大洪水发生后，在30年内发生特大洪水的概率为0.8，在40年年内发生特大洪水的概率为0.85。已知该地区无特大洪水已有30年，求在未来10年内将发生特大洪水的概率。 1.5.2 乘法公式 P( A ) 0 P( B ) 0,1.5.3 全概率公式 1、样本空间的一个划分 设 Ai ( i =1，2，n)满足： Ai Aj= ，A1+A2+An= 2、全概率公式 设 Ai ( i =1，2，n)是样本空间的一个划分，且P( Ai )0，则对任意事件 B，有,例13 两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍。现任取一零件，求它是的合格品的概率。 1.5.4 贝叶斯公式 设 Ai ( i =1，2，n)是样本空间的一个划分，且P( Ai )0，则对任意事件 B，有,例14 有一台机床，当其正常时产品的合格率为0.9，当其非正常时产品的合格率为0.3。历史数据表明：每天上班开机时，机床正常的概率为0.75。现有某检验人员为了检验机床是否正常，开机生产了一件产品，经检验该产品为合格品，求此时机床是正常的概率。 1.5.5 事件的独立性 1、二事件的独立性 设A，B为两个事件，如果 P( AB ) = P( A )P( B ) 则称A与B相互独立,2、二事件的独立的性质 若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也相互独立。 例15 有两门高射炮独立地射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率。 3、多个事件的独立性 设A1，A2，An是n个事件，如果对任意的k（1kn）个事件 ， ， （1i1i2ikn），均有 P（ ）= P（ ）P（ ）P（ ） 则称事