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第一章 事件的概率,1.1 随机事件和样本空间 1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象 确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象 随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的现象,其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性,2、随机试验 对随机现象的观察称为随机试验,简称为试验,用字母E来表示 随机试验的特点: (1)可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行 (2)可观测性 每次试验的可能结果不止一个,而且事先能明确试验的所有可能结果 (3)随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现的结果 一些随机试验的例子: E1:掷一颗均匀对称的骰子,观察出现的点数,E2:记录一段时间内某城市110报警次数 E3:从含有三件次品a1,a2,a3和三件正品b1,b2,b3的六件产品中,任取两件,观察出现正品和次品的情况 E4:从一批电脑中任取一台,观察无故障运行的时间 E5:设平面上有一簇间距为a的平行线,现反复用一枚长度为l(la)的针投掷下去,投掷n次后,观察针与平行线相交的数目 E6:向坐标平面区域D:x2 +y2100内随机投掷一点(假设点必落在D内),观察落点M的坐标,1.1.2 随机事件 随机试验的每一个可能的结果称为事件,用大写字母A,B,C,等表示。事件分为: 基本事件是指不能再分解的事件 复合事件是指由若干基本事件组成的事件 必然事件指每次试验中都肯定出现的结果,用 表示 不可能事件指在每次试验中都不出现的结果,用表示,1.1.3 样本空间 一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为样本空间,用来表示;其中每一个基本事件称为样本点,用来表示 ,即 =。 随机试验E1,E2,E6所对应的样本空间如下: 1 = 1,2,6 2 = 0,1,2, 3 = (a1a2), (a1a3), (a2 a3) ,(a1 b1),(a1 b2),(a1b3),(a2 b1) ,(a2 b2 ),(a2 b3),(a3 b1),(a3 b2),(a3 b3),(b1b2),(b1 b3),(b2b3),4 = x:x0 5 =0,1,2, ,n 6 =(x,y) : x2 +y2100 1.2 事件的关系和运算 1.2.1 事件的关系和运算 1、事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,或事件A包含于事件B,记作A B或B A,2、事件的相等 如果事件A包含事件B,同时事件B也包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B 3、事件的和(并) “事件A与事件B至少有一个发生”的事件,称为事件A与事件B的和(或并),记作AB或A+B 设A1,A2,An为n个事件,则“事件A1,A2,An中至少有一个发生”这一事件,称为事件A1,A2,An的并,记为A1A2An 或A1+A2+An,4、事件的积(交) “事件A与事件B同时发生”的事件,称为事件A与事件B的积(或交),记作AB或AB 设A1,A2,An为n个事件,则“事件A1,A2,An同时发生”这一事件,称为事件A1,A2,An的交,记为A1A2An 或A1A2An 5、事件的差 “事件A发生而事件B不发生”的事件,称为事件A与事件B的差,记作A-B,6、互不相容(互斥)事件 如果事件A与事件B不能同时发生,即AB=,则称事件A与事件B是互不相容 7、对立事件 对于事件A,“事件A不发生”这一事件,称为A的对立事件(或逆事件),记作 1.2.2 事件与集合的关系 事件与集合的对应关系 事件的文氏图 1.2.3 事件的运算性质,1、交换律 A+B = B+A,AB = BA 2、结合律 (A+B)+C =A+(B+C),(AB)C =A(BC) 3、分配律 (A+B)C =(AC)+(BC) (A-B)C=(AC)-(BC) 4、德摩根律,例1 设A,B,C为三个事件,试用A,B,C表示下列事件: (1) A发生且B与C至少有一个发生 (2) A与B发生而C不发生 (3) A,B,C中至少有一个发生 (4) A,B,C中至少有两个发生 (5)A,B,C中不多于一个发生 (6) A,B,C中恰好有一个发生,1.3 随机事件的概率 1.3.1 概率的统计定义 设在n次重复试验中事件A出现了nA次,则称比值 为事件A发生的频率,记作fn(A),即 fn(A)= 1.3.2 古典型概率 古典概型 : (1)有限性 试验只产生有限个基本事件; (2)等可能性 每次试验中各个基本事件发生的可能性相同,古典型概率的定义: 设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型,事件A包含m个基本事件,则事件A的发生的概率为 P(A)= 例2 用0,1,2,9共10个数字中的任意两个(可重复使用)组成一个两位数的字码,求字码之和为3的概率。 例3 箱中有100个外形相同的产品,其中60件正品,40件次品。现在从这100件产品中任意抽取3件,分别按有放回和无放回两种方式,求其中有2件次品的概率。,例4 设箱中有a个白球和b个黑球,从中任意不放回地取出k个(1ka+b)球,求第k次取出的球是白球的概率。 例5 一批产品有N件,其中M (MN)件是次品。从中任意取出n(nN)件产品(不放回),求其中恰有k(kM)件次品的概率。 1.3.3 几何型概率 设试验的结果可用某一区域内的点的随机位置来确定,且点落在的任意位置是等可能的。事件A的概率为 P(A)=,例6 设在一个5104平方公里的海域里,有表面积达40平方公里的大陆架蕴藏有石油如果在这片海域里随意选定一点钻探,问能钻到石油的概率是多少? 例7 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控。监控期为L单位时间,该期间内随时可提取尿样化验。设该人员随即可能复吸且复吸后S单位时间内尿样呈阳性反应,问该人员复吸并被检验出的概率是多少?,1.4 概率的公理化定义 1.4.1 概率的三条公理(概率的公理化定义) 公理1 0P(A)1 公理2 P()=1 公理3 对两两不相容的事件A1,A2,有,1.4.2 概率的性质 性质1 P() = 0 性质2 设A1,A2,An 是两两不相容的事件,则有 性质3 对任何事件A,有,性质4 对任何事件A,B,有 P(A-B) = P(A) - P(AB) 特别地,若 ,则 (1) P(A)P(B) ;(2)P(A-B)=P(A)-P(B) 性质5 对任何事件A,B,有 P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 推论 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),例8 袋中有6个球,其中4白2黑。分别用有放回和不放回两种方法取球,求(1)取到的两个球都是白球的概率;(2)取到的两个球颜色相同的概率;(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率。 例9 一副扑克牌(52张),从中任取13张,求至少有1张A的概率。 例10 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/16,P(AB)=0,求事件A,B,C都不发生的概率。,1.5 条件概率和事件的独立性 1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下,事件 A的条件概率为 理解条件概率的意义 例11 某产品共有10件,其中3件为次品。用不放回方法从中任取两次,一次一件,若已知第一次取到的是次品,求第二次再取次品的概率。,例12 设某地区历史上从某次特大洪水发生后,在30年内发生特大洪水的概率为0.8,在40年年内发生特大洪水的概率为0.85。已知该地区无特大洪水已有30年,求在未来10年内将发生特大洪水的概率。 1.5.2 乘法公式 P( A ) 0 P( B ) 0,1.5.3 全概率公式 1、样本空间的一个划分 设 Ai ( i =1,2,n)满足: Ai Aj= ,A1+A2+An= 2、全概率公式 设 Ai ( i =1,2,n)是样本空间的一个划分,且P( Ai )0,则对任意事件 B,有,例13 两台车床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍。现任取一零件,求它是的合格品的概率。 1.5.4 贝叶斯公式 设 Ai ( i =1,2,n)是样本空间的一个划分,且P( Ai )0,则对任意事件 B,有,例14 有一台机床,当其正常时产品的合格率为0.9,当其非正常时产品的合格率为0.3。历史数据表明:每天上班开机时,机床正常的概率为0.75。现有某检验人员为了检验机床是否正常,开机生产了一件产品,经检验该产品为合格品,求此时机床是正常的概率。 1.5.5 事件的独立性 1、二事件的独立性 设A,B为两个事件,如果 P( AB ) = P( A )P( B ) 则称A与B相互独立,2、二事件的独立的性质 若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也相互独立。 例15 有两门高射炮独立地射击一架敌机,设甲炮击中敌机的概率为0.9,乙炮击中敌机的概率为0.8,求敌机被击中的概率。 3、多个事件的独立性 设A1,A2,An是n个事件,如果对任意的k(1kn)个事件 , , (1i1i2ikn),均有 P( )= P( )P( )P( ) 则称事
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