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第5章 抽样调查及参数估计,抽样推断 抽样分布 参数估计,1,本章的学习目标: 理解利用统计量估算参数的基本逻辑与方法 了解抽样的概念与方法 掌握参数估计的方法 本章的重要概念: 抽样，抽样框，随机，抽样分布， 区间估计，置信水平,第一节 抽样推断,一、抽样推断 二、抽样单元与抽样框 三、概率抽样及其组织形式 四、抽样调查设计 五、利用EXCEL抽样,2,按照随机原则， 以一定的概率， 从总体中抽出一定量的单体做样本， 根据样本统计量 对总体参数做出一定程度可靠性的估计推断 这个过程就是抽样调查或抽样推断,抽样推断,参数估计(parameter estimation),假设检验(hypothesis testing),3,一、抽样推断,抽样推断的特点 1） 随机原则抽取样本单位 非主观性 2）推断总体的特征 - 保障一定的可靠性 3） 抽样误差可以计算和控制 标准误差 标准误差：样本统计量与总体参数之差,4,二、 抽样单元与抽样框,抽样单元：将总体划分成若干个互不重叠 且有穷尽的部分，成为抽样单元（若干个体） 最小的抽样单元是调查单元 单元框（sampling frame）: 抽样单元的名册， 电话号码本，户口数据库， 抽样框里的抽样单元，要无遗漏，无重复,5,三、抽样方法,1. 概率抽样（随机抽样）：根据已知的概率选取样本 放回抽样： 不放回抽样： 简单随机抽样（random sampling）：完全随机抽样 - 抽签法 N比较小的时候 - 随机数字表法 N和n都比较大的时候 - 利用EXCEL的随机发生器,6, 分层抽样（stratified sampling） 总体分成不同的层，在每一层随机抽样 二阶段抽样（two stage sampling) 先对初级单元（层）进行抽样，再对次级单元抽样 整群抽样(cluster sampling) 将一层被调查群作为一个抽样单位 系统（等距）抽样（systematic sampling) 在样本框中每隔一定距离抽选被调查者,7,非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本 非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者 判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者 配额抽样：选择满足特定条件的被调查者,8,四、抽样调查设计,1. 抽样方案设计 - 选择抽样方法:方便性，代表性，精确性 - 确定样本容量：精度和费用的综合考虑 2. 调查方法确定 3. 估计量的构造 估计量要有较好的概率性质：无偏性，方差小,五、利用EXCEL 抽样,9,10,第二节 抽样分布,一、样本均值的抽样与CLT 二、样本比例的抽样分布 三、抽样推断中常用统计量及分布 四、两个样本均值差的分布 五、两个样本比例差点分布 六、样本方差的分布 七、EXCEL 抽样分布模拟,一、样本均值的抽样与CLT,1. 样本均值的分布,11,从总体(,) 抽取同样大小(n)的样本组合，以此为变量，随机求此变量的平均的分布，即平均的概率,例子:, = E(X)=XP(X) = 2(1/3) +4(1/3)+ 6(1/3)=4 2= E(X2)-E(X)2 =4(1/3) +16(1/3)+ 36(1/3)-16=8/3,3位老师的工龄为2，4，6年,12,n=2时的抽样,样本均值的分布,0 2 3 4 5 6,_,_,E(X)=2(1/9)+3(2/9)+4(3/9) +5(2/9)+6(1/9)=4=E(X) Var(X)=4(1/9)+9(2/9)+16(3/9) +25(2/9)+36(1/0)-16=4/3=var(X)/2,_,_,13,样本分布的期待值与方差,standard error: 样本均值的标准差- X n越大，标准误差就越小 N=n时， 标准误差为 0,_,14,E(X)=(1+2+3)(1/3)=2 Var(X)=(1+4+9)(1/3)-4=2/3 E(X)=(1+3)(1/9)+(1.5+2.5)(2/9)+2(3/9)=2 Var(X)=(1+9)(1/9)+(2.25+6.25)(2/9)+4(3/9)-4=1/3,_,_,_,_,15,2. 中心极限定理（central limited theorem-CLT）,任意分布的总体中，当样本容量为n时， XN（，2/n), 的分布随着n的增加，趋近与N (0，1) 一般n 30, 即可认为是标准正态分布,16,二、样本比例（成数）的抽样分布,当n很大（ np=5和n(1-P)=5 ），样本比例p的抽样分布近似于,17,三、抽样推断中常用统计量及分布,Z统计量及其分布 X N（，2）中 n 个随机变量X1, X2,Xn为X的简单随机样本， 则有XN（，2/n）， 将其标准化得到Z统计量的分布 Normsdist(Z), 与Normsinv(probability)函数,18,标准正态分布,19,2. 2统计量及其分布-样本方差的分布,用于拟合优度检验，独立性检验，总体方差的估计和检验,随机变量X1,X2,Xn 相互独立，XN（，2）, zN(0,1), 则样本方差s2服从自由度为n-1的2分布,将2(n 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布 性质：E(2) =n， 方差D (2) =2n X1 2（n1），X2 2（n1）， 则 X1+X2 2（n1+n2）,20,卡方 (c2) 分布,21,3. t 统计量的分布(n30，未知),XN(,2 ), n个随机变量X为一个随机样本，,22,4. F统计量及其分布,两个独立的2分布，各自除以自由度后的比率 为F分布。用于方差，协方差，回归分析。 随机变量X 2（n), Y 2(m) ，则F统计量为,23,两个样本方差比的抽样分布,设X1，X2， ，Xn1是来自正态总体N(1,12 )的一个样本， Y1，Y2， ，Yn2是来自正态总体N(2,22 )的一个样本，且Xi(i=1,2,，n1)，Yi(i=1,2, ，n2)相互独立，则,将F(n1-1 , n2-1 )称为第一自由度为(n1-1)，第二自由度为(n2-1)的F分布,24,两个样本方差比的抽样分布, 不同样本容量的抽样分布,25,四、两个样本平均差的分布,对两个不同总体的平均差做判断时 X1N(1,12), X2N( 2,22), 则有 当n=30时，可以使用中心极限定理，即 Y（x1-X2)N（ 1 - 2， 12 /n1+ 12 /n1 ）,26,五、两个样本比例差的分布 六、样本方差的分布（chart 20）,27,28,第三节 参数估计,一、参数估计的基本问题 二、一个总体参数的区间估计 三、两个总体参数的区间估计 四、样本量的确定,非参数估计：总体分布未知 参数估计：总体分布类型已知，仅对参数估算,一、参数估计的基本问题,29,X P S2, , 估计量（estimator),1. 估计量与估计值,2. 点估计与区间估计,点估计： 从总体中抽取一个简单 随机样本（x1,x2,xn), 然后利用统计量（估计量） 对总体进行估算。 不准确，不科学，少用,-,区间估计 在点估计的基础上，对参数进行一定范围的估算,30,从总体中构造2个体计量1， 2 P1= = 2)=1-, (0 1) 1， 2是参数的置信区间（confidence interval) 1- 是置信水平（confidence level) 1， 2分别为置信界限（临界点 c-point） : 风险系数-参数不在置信区间的概率,区间估计,1. 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围 给出总体参数落在这一区间的概率 例如: 总体均值落在5070之间，置信度为 95%,区间与置信水平,均值的抽样分布,(1 - ) % 区间包含了， % 的区间未包含,置信水平,c1,c2,C2-C1: 置信区间 C1,C2：置信界限,落在总体均值某一区间内的样本,3. 估计量的优良性准则,无偏性：估计量的数学期望等于被估计的总体参数 E() = ,估计量的优良性准则,有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更 有效的估计量。D(1) = D(2)， 则1 更有效 如，与其他估计量相比, 样本均值是一个更有效的估计量,估计量的优良性准则,一致性：随着样本容量的增大，估计量越来越接 近被估计的总体参数,37,被估计的总体参数,置信区间估计,1. 总体均值的置信区间 (2 已知),1. 假定条件 总体服从正态分布,且总体方差（）已知 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30) 2. 使用正态分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,二、一个总体的区间估计,总体均值的区间估计 （正态总体：实例）,解：已知N(，0.152)，x2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 总体均值的置信区间为,我们可以95的概率保证该种零件的平均长度在21.30221.498 mm之间,【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总体标准差 =0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。,总体均值的区间估计 （非正态总体：实例）,解：已知 x26, =6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96,我们可以95的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24.82427.176 分钟之间,【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时）。,2.正态总体均，2 未知，小样本,1. 假定条件 总体方差（）未知 总体必须服从正态分布 使用 t 分布统计量,3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,总体均值的区间估计总结,43,正态总体方差的区间估计（p137),1. 估计一个总体的方差或标准差 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且,4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为,卡方 (c2) 分布,c2,45,21-a/2,2a/2,总体方差的1-置信区间,根据均值区间估计公式可得样本容量n为,四、样本容量的确定,样本容量n与总体方差2、允许误差、可靠性系数Z之间的关系为 与总体方差成正比 与允许误差成反比 与可靠性系数成正比,样本容量的确定,解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，=500,应抽取的样本容量为,【例】一家广告公想估计某类商店