全国版高考数学第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用课件理.pptx

第二课时 两角和、差及倍角公式的应用,考向一 利用三角恒等变换化简、求值、证明 【典例1】(1)(2016开封模拟)化简:sin2sin2 +cos2cos2- cos2cos2= . (2)求证:,【解题导引】(1)可以从统一角的方向求解. (2)可以从等号两边分析角的差异入手求解.,【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角单角) 原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2- 1)(2cos2-1) =sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2 -2cos2-2cos2+1),=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2- =sin2sin2+cos2sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .,方法二(从“角”入手,单角倍角) 原式= = (1+cos2cos2-cos2-cos2)+ (1+ cos2cos2+cos2+cos2)- cos2cos2 = . 答案:,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 方法一:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2=cos2-sin2(cos2-sin2) - cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2,方法二:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sinsin-coscos)2+ 2sinsincoscos- cos2cos2 =cos2(+)+ sin2sin2- cos2cos2 =cos2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos2(+)-1= . 答案:,(2)等式左边= =右边,所以等式成立.,【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子,或逆用公式.,(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化同名. (6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整式要因式分解.,2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当于解决化简题目. (2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子. (3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立.,易错提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根据角的范围确定三角函数的符号.,【变式训练】1.化简 的结果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】选C.原式=,2.化简: = . 【解析】 答案:,【加固训练】 1.化简 = ( ) A.sin B.cos C.tan D.,【解析】选C.原式=,2.(2016衡水模拟)计算: = ( ) 【解析】选D.原式=,3.化简: = . 【解析】原式=,答案:,4.(2016武汉模拟)若 = .,【解析】因为 =2015, 所以 答案:2015,5.已知三个电流瞬时值函数式分别是 I1=22sint,I2=22sin(t+120), I3=22sin(t+240) , 求证:I1+I2+I3=0.,【证明】因为I1+I2+I3 =22sint+22sin(t+120)+22sin(t+240) =22sint+sintcos120+costsin120+sintcos240+costsin240 所以I1+I2+I3=0.,考向二 利用三角恒等变换解决实际问题 【典例2】如图,现要在一块半径为1 m,圆心角为 的 扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧 AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设BOP=,平行四边 形MNPQ的面积为S. (1)求S关于的函数关系式. (2)求S的最大值及相应的角.,【解题导引】(1)虽然P点变化但OP不变,通过构造 与 角所在的直角三角形,将平行四边形的底和高用角 表示,从而求出S关于的函数关系式.(2)利用三角恒 等变换先化简,再求S的最大值及相应的角.,【规范解答】(1)分别过P,Q作PDOB于点D,QEOB于点E,则四边形QEDP为矩形. 由扇形半径为1m, 得PD=sin,OD=cos. 在RtOEQ中,MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin, S=MNPD=,(2)S= 因为 所以 当,【母题变式】 1.在本例中若点M与点O重合,图形变为如图,记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,【解析】如图,过点P作PDOB于点D,则 由扇形半径为1m,得PD=sin,OD=cos, 在RtPND中,因为PND=AOB= , 所以 ON=OD-ND= S=ONPD= sin,2.若本例题中的扇形不变,P为扇形弧的中点,如图,矩形CDEF的边CD平行于OP,求这个矩形面积的最大值.,【解析】连接OE,设POE=(030),DE,FC交OP于点M,N,所以EM=sin,OM=cos, ON= sin,MN=cos- sin, 所以矩形CDEF的面积为S=CDDE,【易错警示】解答本例题会出现以下错误 (1)不知平行四边形的面积公式,无从下手,导致不会解答. (2)不会化简所求关系式致误. (3)忽视的取值范围致误.,【规律方法】(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题. (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后作出结论并回答问题.,【变式训练】如图,同一平面内的三条平行直线l1,l2, l3,l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为2,若正三角形的三个顶点A,B,C分别在这三条直线上,则此正三角形的面积为 .,【解析】过B点作直线EF垂直于l1,l2,l3,交l1于点E,交l3于点F, 则BE=1,BF=2,设正三角形ABC边长为a, ABE=,则CBF=120-, 在RtABE中,BE=ABcos=acos=1,在RtCBF中,BF=BCcos(120-) =a(cos120cos+sin120sin)=2, 解得,tan= , 所以 所以SABC= 答案:,【加固训练】 1.(2016郑州模拟)已知直线l1l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,则ABC面积的最小值为 .,【解析】如图,设ABD=,则CAE=, 所以SABC= ABAC= 当 时,SABC的最小值为h1h2. 答案:h1h2,2.如图,半圆O的半径为1,点A与半圆的直径在一条直线上,OA=2,点P为半圆上的任意一点,三角形PAB为等边三角形,当点P运动时,求四边形OABP的面积的最大值.,【解析】设POA=(0180), 则由余弦定理得PA2=OA2+OP2-2OAOPcos =22+12-221cos=5-4cos, 所以四边形OABP的面积为,所以四边形OABP的面积最大值为2+ ,此时AOP为150.,考向三 三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:利用三角恒等变换研究三角函数的图象变 换问题 【典例3】(2016长沙模拟)已知函数f(x)= 若其图象是由y=sin2x图象向左平移(0) 个单位得到的,则的最小值为 ( ),【解题导引】由两角和的正弦公式化简解析式可得f(x) = ,函数y=sin2x的图象向左平移(0)个 单位后的解析式为y=sin(2x+2),从而= +k(k N),0可得的最小值.,【规范解答】选C.因为f(x)= 所以可得f(x)= 函数y=sin2x的图象向左平移(0)个单位后的解析式为y=sin(2x+2), 从而= +k(kN),0, 所以的最小值为 .,命题方向2:利用三角恒等变换研究三角函数的性质问题 【典例4】(2016襄阳模拟)已知函数f(x)=sin2x+ sinxcosx+2cos2x,xR. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间. (2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象 经过怎样的变换得到?,【解题导引】(1)根据三角恒等变换公式化简函数表达式为y=Asin(x+)的形式,再求周期和单调增区间.(2)根据图象平移、伸缩变换求解.,【规范解答】(1)f(x)= +(1+cos2x) 所以f(x)的最小正周期T= =. 由题意得 即 所以f(x)的单调增区间为,(2)先把y=sin2x图象上所有点向左平移 个单位长度, 得到y=sin 的图象,再把所得图象向上平移 个单 位长度,就得到 的图象.,【技法感悟】 三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用 (1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(x+)+t或余弦型函数y=Acos(x+)+t的形式,再进行图象变换.,(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的形式; 利用公式T= (0)求周期;,根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值; 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y= Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的单调区间.,【题组通关】 1.(2016南昌模拟)已知函数 则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.cab C.bac D.bca,【解析】选B.f(x)= 因为函数 f(x)在 上单调递增,所以 所以cab.,2.(2016泰安模拟)已知函数 cos(2x+)(0)在区间 上为增函数,则 的最大值为 .,【解析】 由不等式 所以f(x)的一个增区间为,要使得f(x)在区间 上为增函数,必须 解得 所以的最大值为 . 答案:,3.(2016佳木斯模拟)已知函数f(x)=2 sinxcosx +2cos2x-1(xR). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值 和最小值. (2)若 求cos2x0的值.,【解析】(1)由f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= (2sinxcosx)+(2cos2x-1)= sin2x+cos2x =2sin ,所以函数f(x)的最小正周期为, 因为f(x)=2sin 在区间 上为增函数,在区 间 上为减函数,又因为f(0)=1, 所以函数f(x)在区间 上的最大值为2,最小值为-1.,(2)由(1)可知 又因为f(x0)= ,所以 因为 所以 所以,【加固训练】 1.(2016商丘模拟)将函数f(x)= sin2x+ cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,则 的值为 ( ),【解析】选A.因为f(