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课时作业6函数的奇偶性与周期性1(2019长春质检)下列函数中,既是奇函数又在(0,)上单调递增的是(D)AyexexByln(|x|1)CyDyx解析:选项A,B显然是偶函数,排除;选项C是奇函数,但在(0,)上不是单调递增函数,不符合题意;选项D中,yx是奇函数,且yx和y在(0,)上均为增函数,故yx在(0,)上为增函数,所以选项D正确2(2019商丘模拟)已知函数f(x)ln(ex)ln(ex),则f(x)是(D)A奇函数,且在(0,e)上是增函数B奇函数,且在(0,e)上是减函数C偶函数,且在(0,e)上是增函数D偶函数,且在(0,e)上是减函数解析:f(x)的定义域为(e,e),且f(x)ln(e2x2)又te2x2是偶函数,且在(0,e)上是减函数,f(x)是偶函数,且在(0,e)上是减函数3(2019南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,)上为减函数,且函数yf(x4)为偶函数,则(D)Af(2)f(3)Bf(2)f(5)Cf(3)f(5)Df(3)f(6)解析:yf(x4)为偶函数,f(x4)f(x4),因此yf(x)的图象关于直线x4对称,f(2)f(6),f(3)f(5)又yf(x)在(4,)上为减函数,f(5)f(6),所以f(3)f(6)4(2019安徽蚌埠模拟)已知单调函数f(x),对任意的xR都有ff(x)2x6,则f(2)(C)A2B4 C6D8解析:设tf(x)2x,则f(t)6,且f(x)2xt,令xt,则f(t)2tt6,f(x)是单调函数,f(2)2226,t2,即f(x)2x2,则f(2)426,故选C.5(2019河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x0时单调递增,且f(1)0,若f(x1)0,则x的取值范围为(A)Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3Dx|x1或x1解析:奇函数f(x)在(0,)上单调递增,且f(1)0,函数f(x)在(,0)上单调递增,且f(1)0,则1x0或x1时,f(x)0;x1或0x1时,f(x)0.不等式f(x1)0即1x10或x11,解得0x1或x2,故选A.6(2019惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(,0上是减函数,且f(1)2,则不等式f(log2x)2的解集为(B)A(2,) B.(2,)C.(,)D(,)解析:f(x)是R上的偶函数,且在(,0上是减函数,所以f(x)在0,)上是增函数,所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x1x2或0x.7(2019河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2e)f(x)(其中e2.718 2),且在区间e,2e上是减函数,令a,b,c,则f(a),f(b),f(c)的大小关系(用不等号连接)为(A)Af(b)f(a)f(c)Bf(b)f(c)f(a)Cf(a)f(b)f(c)Df(a)f(c)f(b)解析:f(x)是R上的奇函数,满足f(x2e)f(x),f(x2e)f(x),函数f(x)的图象关于直线xe对称,f(x)在区间e,2e上为减函数,f(x)在区间0,e上为增函数,又易知0cabe,f(c)f(a)f(b),故选A.8(2019四川师大附中模拟)设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在a,bD(ab),使f(x)在a,b上的值域也是a,b,则称为“优美函数”若函数f(x)log2(4xt)为“优美函数”,则t的取值范围是(D)A.B(0,1)C. D.解析:函数f(x)log2(4xt)是定义域上的增函数,由题意得,若函数为“优美函数”,则f(x)x有两个不相等的实根,即log2(4xt)x,整理得4xt2x,(2x)22xt0有两个不相等的实根2x0,令2x(0),2t0有两个不相等的正实根,解得0t,即t,故选D.9(2016江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1)上,f(x)其中aR.若ff,则f(5a)的值是.解析:因为f(x)的周期为2,所以ffa,ff,即a,所以a,故f(5a)f(3)f(1).10(2019泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y),f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函数,给出下列几个命题:f(x)是周期函数;f(x)的图象关于直线x1对称;f(x)在1,2上是减函数;f(2)f(0),其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)解析:f(xy)f(x)f(y)对任意x,yR恒成立令xy0,所以f(0)0.令xy0,所以yx,所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x),所以f(x)为奇函数因为f(x)在x1,0上为增函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)在0,1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x),所以周期T4,即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为f(x)为奇函数,所以f(2x)f(x),所以函数关于直线x1对称由f(x)在0,1上为增函数,又关于直线x1对称,所以f(x)在1,2上为减函数由f(x2)f(x),令x0得f(2)f(0)f(0)11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取值范围解:(1)设x0,则x0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x)于是x0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)要使f(x)在1,a2上单调递增,结合f(x)的图象知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,312函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x1)2,且f(x)在(0,)上是增函数,求x的取值范围解:(1)对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2),令x1x21,得f(1)2f(1),f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明:令x1x21,有f(1)f(1)f(1),f(1)f(1)0.令x11,x2x,有f(x)f(1)f(x),f(x)f(x),f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2,由(2)知,f(x)是偶函数,f(x1)2等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0,)上是增函数,0|x1|16,解之得15x17且x1,x的取值范围是x|15x17且x113(2019太原模拟)已知函数f(x)是偶函数,f(x1)是奇函数,且对于任意x1,x20,1,x1x2,都有(x1x2)f(x1)f(x2)0,设af,bf,cf,则下列结论正确的是(B)AabcBbacCbcaDcab解析:由函数f(x)是偶函数,f(x1)是奇函数,可知函数的周期为4,则aff,bff,cff.由(x1x2)f(x1)f(x2)0,可知函数是区间0,1上的减函数,据此可得bac.14已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)x3x,则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为(B)A6B7 C8D9解析:因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0x2时,f(x)x3xx(x1)(x1),所以当0x2时,f(x)0有两个根,即x10,x21.由周期函数的性质知,当2x4时,f(x)0有两个根,即x32,x43;当4x6时,f(x)0有三个根,即x54,x65,x76.故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7.15(2019河南林州一中调研)已知函数yf(x)是R上的偶函数,满足f(x2)f(x2)f(2),且当x0,2时,f(x)2x4,令函数g(x)f(x)m,若g(x)在区间10,2上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1x2x3x4x5x624_.解析:函数yf(x)是R上的偶函数,f(2)f(2),由f(x2)f(x2)f(2),令x0,可得f(2)0,f(x2)f(x2),即f(x4)f(x),周期T4.作出函数f(x)在10,2上的图象及直线ym如图所示由图象可知f(x)的图象在10,2上有3条对称轴,分别为x8,x4,x0,6个零点之和为2(8)2(4)2024.16已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数,又是减函数(1)求证:对任意x1,x21,1,有f(x1)f(x2)(x1x2)0;(2)若f(1a)f(1a2)0,求实数a的取值范围解:(1)证明:若x1x20,显然原不等式成立若x1x20,则1x1x21,因为f(x)在1,1上是减函数且为奇函数,所以f(x1)f(x2)f(x2),所以f(x1)f(x2
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