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这一章的主要内容：,第四章 习题课,4.1矩阵的特征值与特征向量,定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵I-A称为A的特征矩阵，其行列式| I-A |为的n次多项式，称为A的特征多项式， | I-A |0称为的特征方程。,求特征值和特征向量的步骤：,1）计算A的特征多项式| I-A |。 2）求出特征方程| I-A |0的全部特征值。 对每个特征值 0，求出相应的齐次线性方程组（0I-A）x=0的一个基础阶系1,t，则A的0关于的特征向量为： c11+ctt。,命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一 特征值不为零。,（二）特征值与特征向量的性质：,定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.,补充性质： 若是矩阵A的特征值，x是关于的 特征向量，则： a)k 是kA的特征值。 b) m是Am的特征值,m是自然数。 c)A可逆时， -1是A-1的特征值。,4.2 相似矩阵 (一)相似矩阵定义及其性质,定理4.4 如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。,自反性：AA。 对称性：AB则BA。 传递性：AB及BC可得：AC。,但逆命题不成立：,相似矩阵的性质： 1）相似矩阵有相同的秩。,2）相似矩阵的行列式相等。,3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆也相似。,问题：,1）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？如不，相似需要何条件？,2)如n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似 的变换矩阵P如何得到？,3)n阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？,4）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则 能否有新的且较简单的矩阵与它相似？,（二）阶矩阵与对角矩阵相似的条件,注意： 有n个相异特征值只是可化为对角矩阵的充分条件，而不是必要条件。换句话说，特征值不全相异时也有可能化为对角矩阵。,4.3 实对称矩阵得特征值和特征向量,（一）向量内积,（二）正交向量组,定义4.7 如果两个向量与的内积等于零，即： T=0，则称向量与互相正交（垂直）。,定义4.8 Rn中 的非零向量组 1, 2,n 两两正交，即 iT j =0，(ij) 则称该向量组为正交向量组。,定理4.8 Rn中 的正交向量组必线性无关。,但是：无关向量组未必是正交向量组。,可以验证， 1， 2， s是正交向量组，且与 1， 2，s可以相互线性表示。,（三）正交矩阵,定义4.9 设n阶实矩阵，满足 QTQ=I 则称Q为正交矩阵。,定理4.9 设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵 Q的列（行）向量组是单位正交向量组。,正交矩阵的性质： 1）若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1。 若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q-1=QT。 若P、Q为正交矩阵，则它们的积PQ也是 正交矩阵。 （不证）,（四）实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.10 实对称矩阵的特征值都是实数。,定理4.11 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量是正交的。,定理4.12 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q， 使Q-1AQ为对角矩阵。,这一章的主要问题：,一、求矩阵的特征值与特征向量；相关的简单的证明。,例2、已知A的特征值及相应的特征 向量为x，P是可逆矩阵，则P-1AP的 特征值为， P-1AP的特征向 量为。,例4、 1、 2是A的两不同特征值，相应的特征向量为x1、 x2 ，则ax1+bx2不是A的特征向量, a,b为非零常数。,例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足 A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明： 1）=-1必为A和B的特征值。 2) 如x1,x2是A和B的特征值=-1的特征 向量，则x1,x2线性无关。,二、矩阵的相似对角化 求矩