拉氏变换及其性质.ppt

,第15章 拉普拉斯变换,15.9 卷积定理,15.1 拉普拉斯变换,15.2 常用函数的拉普拉斯变换,15.3 拉普拉斯变换的基本性质,15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,15.6 拉普拉斯变换法分析电路,15.7 网络函数,15.8 网络函数的极点和零点,15.4 拉普拉斯反变换,本章重点, 本章重点,返回目录,15.1 拉普拉斯变换,一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义,（Laplace transformation）,（inverse Laplace transformation）,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）对 。,f(t) ，t 0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。,F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。,称为复频 率 （complex frequency）。,积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。,积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。,0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：,为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。,二、拉氏变换存在条件,不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,= 1,15.2 常用函数的拉普拉斯变换,例 求图示两个函数的拉氏变换式,解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个 函数的拉氏变换式相同,返回目录, -1,15.3 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性（linearity）性质,二、原函数的微分（differentiation）,三、原函数的积分（integration）,例,四、时域平移（time shift）,平移,不是平移,例1 求图示函数的拉氏变换式,例2 求图示函数的拉氏变换式,例3 周期函数（periodic function）的拉氏变换。,设 f1(t)为第一个周期的函数，,五、 复频域平移（frequency shift）,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激， 则,例1,例2,例3,例1,例2,例3,返回目录,15.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fraction expansion）,f(t)=L-1F(s),等式两边同乘(s-s1),ki也可用分解定理求,等式两边同乘（s-si）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,m n，用长除法，得,k1 , k2也是一对共轭复数。,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。,设,例,法一：,部分分式展开，求系数。,法二：,将F2(s)改写为(s )2 + 2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,一般多重根情况,返回目录,一、电路元件的运算形式（operator form）,电阻R,u = R i,15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,电感L,电容C,互感M,受控电源,二、电路定律的运算形式,设电路无初始储能,运算形式的欧姆定律,三、运算电路模型,（1）电压、电流用象函数形式。,（2）元件用运算阻抗或运算导纳。,（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。,uC(0-) = 25V iL(0-) = 5A,换路后 运算电路,解,返回目录,15.6 拉普拉斯变换法分析电路,步骤,（1）由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) ；,（2）画运算电路模型；,（3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,（4）反变换求原函数。,t = 0时闭合S，求iL，uL。,例1,（2）画运算电路,解,（4）反变换求原函数,校核初值和终值,要考虑初值,思考：uL是哪两端 的电压？,例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t) 。,返回目录,15.7 网络函数（Network Function）,一、定义,单个独立源作用的线性网络,转移函数（transfer function）,1. 策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,2. 转移函数（传递函数）,转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,三、单位冲激响应与网络函数的关系,若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,返回目录,15.8 网络函数的极点（Pole）和零点（Zero）,一、复频率平面,在复平面上用“”表示极点， 用“。”表示零点。,例,绘出其极零点图。 （pole-zero diagram）,二、极点分布与冲激响应的关系,H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。, , , ,极点的位置决定冲激响应的波形。,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性（stability）。,全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的； 有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点 在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界 稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率。,R(s)=H(s)E(s),系数Ai和Aj是由零点和极点共同决定。,返回目录,设D(s) 和E(s)没有相同的极点,15.9 卷积（Convolution）定理,R(s)= E(s) H(s),证明,延时,例 已知某电路的单位冲激响应