资产市场不确定性风险资产.ppt

不确定性 一.一般理论 1.偏好 简单赌局:令A=a1,an是结果集， 那么，Gs简单赌局的集合（在A上的） 由如下式子给出: Gs=p0oa1,pnoan|pi0,pi=1 赌局的结果是赌局,称为复合赌局. G代表一切赌局的集合.,公理G1:完备性.g,gG, 要么gg要么gg. 公理G2:传递性.g,g,g”G, 如果gg.gg”.则gg”. A的结果是一个退化的赌局,可以排序. 不妨设a1 a2 an. 公理G3:连续性.gG, 0,1, goa1, (1-)oan,公理G4:单调性. ,0,1, 如果oa1,(1-)oan oa1, (1-)oan,则 公理G5:替代性. g=p0og1,pkogk h=p0oh1,pkohk g,h G, 如果higi.则hg.,g=oa1,(1-)oh h=oa1, (1-)oa2 结果为a1的有效概率为+(1-), a2的有效概率为 (1-) (1-). 复合赌局引致ai的唯一有效概率. g G, pi代表g分派给ai的有效概率, g引致了简单赌局 p0oa1,pnoan Gs.,公理G6:简化成一个简单赌局 对于g G, 如果p0oa1,pnoan 是由 g引致的简单赌局,则 p0oa1,pnoan g. 2.VNM效用函数 预期效用的性质: p0oa1,pnoan 是由 g引致的简单赌局, 对于g G, 如果存在u(g)=piu(ai).效用函数 u:GR具有期望效用的性质. 消费者的目标是期望效用最大化.,VNM效用函数存在性定理: 对属于G内的赌局的偏好满足公理G1-6, 那么存在一个代表关于G的偏好的效用 函数u:GR,使u具有期望效用性质. 证明: (1)公理G3:连续性.gG, 0,1, goa1, (1-)oan 公理G4:单调性. 0,1, 如果goa1, (1-)oan,则 , =, 是唯一的.,令=u(g), gu(g)oa1,(1-u(g)oan (2)公理G1:完备性.g,gG, 要么gg要么gg. 设gg,由(1)的结论和公理G2, u(g)oa1,(1-u(g)oan u(g)oa1,(1-u(g)oan 由公理G3, u(g) u(g). 存在一个代表关于G的偏好的效用 函数u:GR,(3) gu(g)oa1,(1-u(g)oan aiu(ai)oa1,(1-u(ai)oan 设qi=u(ai)oa1,(1-u(ai)oan qi ai,公理G5 g= p1oq1,pnoqn p1oa1,pnoan = gs. g分派给a1的有效概率为piu(ai). g分派给an的有效概率为 pi1-u(ai).,gs=piu(ai)oa1,(pi1-u(ai)oan 公理G6, g gs,公理G2, gs gs, gs piu(ai)oa1,(pi1-u(ai)oan gsu(gs)oa1,(1-u(gs)oan 由(1)的结论u(gs)= piu(ai). g引致的gs, ggs, u(g)= u(gs)= piu(ai).u具有期望效用性质.,VNM效用函数对正映射转换是唯一的. 假设VNM效用函数u代表了偏好关系, VNM效用函数v代表了相同的偏好关系, 当且仅当, gG, 0,v=+u. 证明:充分性.g,gG,gg u(g) u(g) v(g)=+u(g) +u(g) = v(g) /5/,必要性.令A=a1,an g= p1oa1,pnoan a1 an, a1an. u代表了偏好关系 u(a1)u(an), u(a1)u(an). 公理G3,唯一i 0,1, u(ai)= i u(a1)+(1- i) u(an). 当且仅当ai an. i0., u具有期望效用性质. u(ai)= u(i o a1,(1- i) oan). ai i o a1,(1- i) oan. v也代表了偏好关系 v(ai)= v(i o a1,(1- i) oan). v也具有期望效用性质. v(ai)= i v(a1)+(1- i) v(an).,u(a1)- u(ai)/u(ai)- u(an) = (1- i) / i = v(a1)- v (ai)/v(ai)- v (an) v (ai)= +u(ai) = u(a1) v (an)-v(a1)u(an) /u(a1)-u(an) = v(a1)- v (an)/u(a1)- u(an)0,对于g G, 如果p0oa1,pnoan 是由 g引致的简单赌局, v(g)= piv (ai)= pi +u(ai) = + pi u(ai)= + u(g) 3.风险厌恶 1)对于非负财富水平上的赌局,设u是个人的一个VNM效用函数,那么对于简单赌局g=p0ow1,pnown,该个人可被认为是:,(1)如果uE(g) u(g),他对g是风险厌恶的; (2)如果uE(g)= u(g),他对g是风险中性的; (3)如果uE(g) u(g),他对g是风险偏爱的; 2)当且仅当行为者的VNM效用函数分别在财 富的适当定义域上是严格凹的线性的严 格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险 厌恶风险中性风险偏爱的. 3)确定性等价物与风险升水:在财富水平上, 任何简单赌局的确定性等价物是一定量的 财富CE-他被确定性地提供,使u(g)=u(CE).,风险升水是一定量的财富P, 使u(g)= u(E(g)-P). P=E(g)-CE. 4)绝对风险厌恶的阿罗-帕拉特测度 Ra(w)=-u”(w)/u(w). Ra(w)为正,负,零时,行为者分别是 风险厌恶风险中性风险偏爱的. 效用函数正的单调转换,使测度不变.,W,u(W),u(W)=W,u(W)=W2,u(W)=W0.5,1,0.5,0.25,0.5,0.7,0.25,0.7,二.二维 1.或有消费 某人开始拥有35000美元资产,有可能 损失10000美元,损失发生的概率为0.01. g0 =0.99o35000, 0.01o25000 完全保险,投报金额为10000美元,保险 费为100美元. g1 =0.99o34900, 0.01o34900 投报金额为K,保险费为K美元. g2=0.99o35000-K,0.01o25000+K-K,Cg,cb,35000,35000-K,25000,25000+K-K,cg/cb=-/(1-),2.VNM效用函数 u(c1,c2,1,2)=1u(c1)+2u(c2) u(c1,c2,1,2)=1c1+2c2 u(c1,c2,1,2)=c11c22 lnu(c1,c2,1,2) =1ln(c1)+2ln(c2) MRS12=-(1 u(c1)/ c1)/ (2 u(c2)/ c2),3.均衡条件 MRS12=-(1 u(c1)/ c1)/ (2 u(c1)/ c1)= -/(1-) 公平保险,保险公司的期望利润 P=K-K=0= u(c1)/c1=u(c2)/c2 消费者风险厌恶,货币的边际效用递减 c1= c2 c0-K= c0-S+K-K K=S 完全保险,三.风险资产投资 1.决策 初始财富w,风险资产好状态概率为, 收益率为rg,坏状态概率为1-,收益 率为rb.风险资产投资x美元. EU(x)= u(w+ rgx) +(1-)u(w+ rbx) EU(x)= u(w+ rgx) rg +(1-)u(w+ rbx) rb EU”(x)= u”(w+ rgx) rg2 +(1-)u”(w+ rbx) rb2,EU(x)=0 x* 投资者风险厌恶, EU”(x)0, x*为全局最大值. 2.征税效应 税率为t, EU(x)=u(w+(1-t)rgx)(1-t)rg +(1-)u(w+ (1-t) rbx) (1-t) rb EU(x)=0 (1-t) x =x* x=x*/ (1-t) 征税导致投资者增加对风险资产投资.,风险资产 一.均值-方差效用 1.u(w,2w),u10,u20.,w,w,2.无风险资产报酬率为rf,风险资产在 s状态下概率为s,报酬率为ms; 风险资产组合的报酬率为rm=sms, 方差为2m=s(ms- rm)2; x份额投资于风险资产,(1-x)份额 投资于无风险资产. rx= x rm+(1-x) rf 2x= x2 2m x= x m x= x/ m rx= rf + ( ( rm - rf) / m) x,rm,rf,m,w,w,rx=rf+( (rm-rf)/m)x,rm,rf,m,w,w,MRS12=-u1/u2 =(rm-rf)/m=P,r*,*,3.均衡,rx*,x*,w,w,ry*,y*,4.组合选择,rx,x,ry,y,二.风险的测度 1.只有一种风险资产的情形,风险资产的 风险值就是它的标准差.存在多种风险资 产的情形,标准差就不是对该资产风险值 的合适测度. 2.消费者的效用取决于全部财富的均值 和方差,而不是任何单一资产的均值和 方差.某人愿意为最后增加的那一份风 险资产所支付的数量,取决于该份资产 与资产组合内其它资产的相互影响.,资产A:10,50%;-5,50%. 资产B:-5,50%;10,50%. A=B=2.5 A=B=7.5 =-1 A.B组合份额1/2. =1/2A+1/2B=2.5 2=D(1/2rA+1/2rB) =1/4(D(rA)+D(rB)+2AB) =0 资产的风险值取决于它与其它资产的关系.,3.一种股票的风险 i=资产i的风险程度/ 股票市场的风险程度 =cov(ri,rm)/Var(rm) i1. 三.风险资产的市场均衡 资产