离散型随机变量的期望与方差.ppt

1. 条件概率的定义.,2. 条件概率的性质.,3. 条件概率的计算方法.,一、基本知识,二、思想方法,1.由特殊到一般,2.类比、归纳、推理,(1)有界性（2）可加性,（古典概型）,（一般概型）,3.数形结合,回顾,4. 求解条件概率的一般步骤,用字母表示有关事件,求相关量,代入公式求P(B|A),概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系,条件概率的定义：,热身：全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,离散型随机变量的期望和方差,设离散型随机变量 可能取的值为,为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.,取每一个值 的概率 则称表,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,思考下面的问题:,某射手射击所得环数 的分布列如下：,在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.,分析：平均环数=总环数100,所以,总环数约等于（40.02+50.04+60.06+ +100.22) 100.,故100次射击的平均环数约等于 40.02+50.04+60.06+ +100.22=8.32.,一般地： 对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已 知 则可以预计他任意n次射击的 平均环数是 记为,我们称 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。,更一般地,关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69页的定价怎样才合理问题?,结论一证明,结论二证明,数学期望的定义:,一般地，随机变量 的概率分布列为,则称,为 的数学期望或均值，简称为期望.,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,结论1： 则 ;,结论2：若B(n，p)，则E= np.,练习一 (巩固定义),所以， 的分布列为,结论1： 则,练习一 (巩固定义),练习二,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E= .,5.8,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分的期望为 ,1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 .,1.2,2.（1）若 E()=4.5,则 E()= . （2）E(E)= .,-4.5,0,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P(=k)= Cnkpkqn-k,证明：,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np,( k Cnk =n Cn-1k-1),结论2：若B(n，p)，则E= np,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,思考1,思考2,例.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,思考1.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？,思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,1、本节课学习了离散型随机变量的期望及公式： （1）E(a+b)=aE+b; （2）若B（n,p），则E=np,2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。,一、离散型随机变量的均值,数学期望,二、离散型随机变量均值的线性性质,复习回顾,三、两点分布与二项分布的均值,发现两个均值相等,因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.,新知探究,（1）频率分布表：,1.00,0.02 0.08 0.09 0.18 0.28 0.15 0.10 0.06 0.04,（2）频率分布直方图：,（3）,（1）分别画出 的分布列图.,（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？,第二名同学的成绩更稳定.,1、定性分析,新知探究,2、定量分析,（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？,方差,（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？,离散型随机变量取值的方差和标准差:,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,3、对方差的几点说明,（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.,说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.,（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？,随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.,对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.,（二）、公式运用,因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击 成绩稳定性较好，稳定于8环左右.,应用举例,例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.,解：抛掷散子所得点数X 的分布列为,从而,.,例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,（2）决策问题,解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得,因为 ，所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位,首页,上页,下页,E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.,解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好.,（三）、练习,D,3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中 任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个 零件直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品 数的期望与方差,EX=0.3 ；DX=351/1100,2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出 200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX,EX=2 ; DX=1.98,2、两个特殊分布的方差,（1）若 X 服从两点分布，则,（2）若 ，则,（2）证明提示：,第一步求,第二步得,3、方差的性质,（1）线性变化,平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差,（2）方差的几个恒等变形,注：要求方差则先求均值,5、对于两个随机变量 和 在 与 相等或 很接近时，比较