定态薛定谔方程求解及自洽场方法.ppt

1-6 角动量,1. 经典力学中的角动量,总角动量M的三个分量Mx, My, Mz等于,2 角动量算符,3 对易规则(commutation rules),即,相互对易的算符具有共同的本征函数系,，,物理量A和 B可同时测定，具有确定值a和 b.,证明: 若 , 设,因此, 也是算符 的本征函数, 最多相差一个常数. 即,上式表明也是算符 的一个本征函数.,4. Hamilton算符与角动量的对易规则,5. 角动量的本征函数,令 、 的共同本征函数,Y = Y(,) = S() T(),本征方程,角动量阶梯算符方法,(The Ladder-operator method for angular momentum),1 角动量升降算符 （raising and lowering operators）,升算符,降算符,也称为,产生算符,消灭算符,对与角动量共同的本征函数Y, 有,升算符作用上式有,(4.43),类似地可推得,(4.44),即升算符对Y每作用一次，使得其波函数变为上一级本征值的本征函数。,类似地，对降算符有：,(4.45),(4.46),即升降算符作用角动量本征函数获得的本征值、本征函数为：,Ladder,(4.47),(4.48),是 的共同本征函数。实际上， 可相互对易。,通式：,证明：,阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？ 解法一,已知M2, Mz的本征值,阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？,设 (4.49),类似的本征方程有,(4.50),(4.51),解法二,结合(4.48)式，有,(4.52),对应一个非负的本征值，因此,(4.53),bk存在一个极大值bmax与极小值bmin. 即,用升算符作用(4.54)式有,(4.54),显然，上式与bmax为极大值矛盾，若上式成立，必有,(4.55),降算符作用(4.55)式有,(4.56),类似推导可得,(4.57),(4.58),(4.56)(4.58) 得,(4.59),把上式看作bmax的一个二次方程式，求解有,(5.60),第二个根不合理，故,bmax = -bmin (4.61),由阶梯算符作用本征函数的Mz的本征值,有,(4.63),由(4.56), (4.58)有,(4.64),整数j对应于角动量M2, 分数j对应于自旋角动量S2。,电子自旋,1. 自旋角动量算符的对易关系 假设自旋角动量算符都是Hermite算符，且具有与轨道角动量相同的对易规则（非相对论量子力学关于自旋的第一假设）。,单电子情况,(4.65),(4.66),(4.67),多电子体系,(4.68),(4.69),总电子自旋有相同的对易规则,（4.70）,(4.71),自旋角动量本征方程,(4.72),(4.73),上式中S为多电子体系的总自旋量子数，Ms 为S沿z轴的分量。,2单电子自旋算符的本征函数和本征值,对于单电子， 和 的本征态只有两个，以和表示。,(4.74),(4.75),s或ms都叫做单电子的自旋量子数。ms =1/2的态叫做上自旋态(spin-up state), ms =-1/2的态叫做下自旋态(spin-down state).,电子自旋的取向,自旋态的正交归一性质 =1, = 1 = = 0 (4.76) 非相对论量子力学关于自旋第二假设,3电子自旋的升降算符,(4.77),(4.78),可以证明：,(4.81),(4.82),4. Pauli自旋矩阵,令 |1=|, |2=| , 计算自旋算