高中数学计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版.pptx

主题 杨辉三角与二项式系数的性质 (a+b)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以表示如下形式:,表一:,表二:,1.你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 提示:三角的两边都是1,除去所有1后剩下三角的两边从上到下依次为从2开始的自然数列. 2.计算每一行的系数和,你又看出什么规律? 提示:2,4,8,16,32,64,2n,3.二项式系数的最大值有何规律? 提示:当n=2,4,时,中间一项最大,当n=3,5,时中间两项最大.,结论: 1.杨辉三角的对称美体现了怎样的数量关系: (1)与这两个1等距离的两个数相等.即:_(r=1, 2,3,n-1) (2)每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 _ (r=2,3,n-1),2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数 _.事实上,这一性质可直接由公式_得到.,相等,(2)增减性与最大值:当k 时,二项式系数是逐渐增 大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中 间取得最大值.如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展 开式中间一项,即_的二项式系数 最大;如果n是 奇数,那么其展开式中间两项_与_的二项式系数 _相等且同时取得最大值.,(3)各二项式系数的和:,2n,【微思考】 1.二项式(x+y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗? 提示:不一定最大,当二项式中x,y的系数均为1时,或x,y的系数均为-1,n为偶数时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.,2.如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和? 提示:通常利用赋值法,如:求(a+x)n=a0+a1x+a2x2+ anxn展开式中各项系数和,可令x=1,即得各项系数和a0+a1+a2+an=(a+1)n.若要求偶数项的系数之和或奇数项的系数之和,可分别令x=-1,x=1,两等式相加或相减即可求出结果.,【预习自测】 1.若 展开式的二次项系数之和为64,则n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选B.由二项式系数之和为2n=64.所以n=6.,2.在(1+x)n(nN*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n等于 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】选C.只有x5的系数最大,x5是展开式的第6项,第6项为中间项,展开式共有11项,故n=10.,3. 的展开式的各项系数的和为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.210 【解析】选B.令x=1得展开式的各项系数和,所以各项系数和为0.,4.若(3x+1)n的展开式中各项的系数的和为256,则n= _. 【解析】令x=1,得展开式各项系数的和为4n=256,所以n=4. 答案:4,5.(1-x)13的展开式中系数最大的项为第_项. 【解析】由Tr+1= (-x)r=(-1)r xr 当r为偶数时,系数为正值,值为 , r为奇数时,系数为负值,值为- .,而展开式中第7,8两项的二项式系数最大,所以当r=6时, 即展开式的第7项二项式系数最大,值为 . 答案:7,6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a5|. (3)求a1+a3+a5.,【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+a5=1. (2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 由(2x-1)5的通项Tr+1= (-1)r25-rx5-r知a1,a3,a5 为负值, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a5| =a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.,(3)由a0+a1+a2+a5=1, -a0+a1-a2+a5=-35, 得2(a1+a3+a5)=1-35, 所以a1+a3+a5= =-121.,类型一 与杨辉三角有关的问题 【典例1】(1)如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4, 10,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于( ),A.144 B.146 C.164 D.461,(2)在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_行中从左至右第14与第15个数的比为23.,【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.,【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是 ,第2项 是 ,第3项是 ,第4项是 ,第15项是 ,第16 项是 , 所以,(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为23,即 二项展开式的第14项和第15项的系数比为 =23, 即 =23,即 解得n=34. 答案:34,【延伸探究】 1.若本例(1)中的条件不变,则S(19)的值如何? 【解析】由题图知,数列中的首项是 ,第2项是 , 第3项是 ,第4项是 ,第17项是 ,第18项 是 ,第19项是 .,所以S(19)=,2.若将本例(1)中,数列改为“1,3,3,4,6,5,10,”如图所示,S(16)的值如何?,【解析】由题图知,数列中的首项是 ,第2项是 第3项是 ,第4项是 ,第16项是 . 所以,S(16)=,【方法总结】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,【补偿训练】如图所示,在杨辉三角中,第n条和第n+1条细斜线上各数之和与第n+2条细斜线上各数之和的关系如何?并证明你的结论.,【解析】第n条和第n+1条细斜线各数之和等于第n+2条细线各数之和,其证明如下: 第n条细斜线上各数和为:,最后一项当n为偶数时是 ,n为奇数时是 ,与第 n+1条细斜线上各数和为 这正好是第n+2条细斜线上各数之和.,类型二 求展开式中的系数和 【典例2】(1)(2017济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+ a1x+a2x2+a7x7,那么a0+a1+a7的值等于 ( ) A.-1 B.-2 C.0 D.2,(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,(nN*),且a2=60. 求n的值; 求 的值.,【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得. (2)由a2=60,求出n的值. 令x=0,求出a0,再令x=- 即可求得.,【解析】(1)选A.令x=1,代入二项式(1-2x)7=a0+a1x+ a2x2+a7x7,得(1-2)7=a0+a1+a2+a7=-1. (2)因为T3= (-2x)2=a2x2,所以a2= (-2)2=60, 化简可得n(n-1)=30,且nN*, 解得:n=6.,令x=0,则a0=1, 令x=- ,则26= 所以,【方法总结】 1.赋值法求解二项展开式问题的步骤 (1)明确展开式的特点与意义. (2)观察展开式与所求式子间的区别与联系. (3)注意特值0,1,-1对二项展开式来说,令x=1得各项系数和;令x=0得常数项;令x=-1得偶数项与奇数项的差.,2.解决二项式系数和问题的思维流程,【巩固训练】设(3x-1)8=a8x8+a7x7+a1x+a0.求: (1)a8+a7+a1. (2)a8+a6+a4+a2+a0.,【解析】令x=0,得a0=1. (1)令x=1,得(3-1)8=a8+a7+a1+a0, 所以a8+a7+a2+a1=28-a0=256-1=255.,(2)令x=-1,得 (-3-1)8=a8-a7+a6-a1+a0. 式+得 28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0), 所以a8+a6+a4+a2+a0= (28+48)=32896.,类型三 二次项系数的性质 【典例3】(2017西安高二检测)已知f(x)= 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项. (2)求展开式中系数最大的项.,【解题指南】(1)由二项式系数的性质求二项式系数最大的项. (2)由通项得 解出r的值.,【解析】(1)令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)= (1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知,4n-2n=992. 所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0, 所以2n=-31(舍),或2n=32. 所以n=5.,由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是 T3= (3x2)2=90x6, T4= (3x2)3=,(2)展开式的通项公式为Tr+1= 假设Tr+1项系数最大,则有 所以,所以 所以 因为rN,所以r=4. 所以展开式中系数最大的项为,【方法总结】 (1)求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论,n为奇数时中间两项的二项式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.,(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不 同的.求展开式系数最大的项,如求(a+bx)n(a,bR)展 开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开 式各项系数分别为A1,A2,Ar+1,且第r+1项系数最大, 应用 解出r来,即得系数最大的项.,【巩固训练】在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项. (2)系数绝对值最大的项. (3)系数最大的项.,【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项, T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是r+1项,于是,化简得 解得 所以r=8, 即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项.,(3)由于系数为正的项为y的偶次方项, 由(