高考数学第7章立体几何初步第1节空间几何体的结构及其三视图和直观图教学案文（含解析）北师大版.docx

第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲传真1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式1旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2.多面体的结构特征3直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段； 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.4三视图(1)三视图的画法规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置1按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下S直观图S原图形，S原图形2S直观图2常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形3正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体C由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱3下列说法正确的是()A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行D根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱B圆锥C四面体 D三棱柱A由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形5以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_2由题意得圆柱的底面半径r1，母线l1，所以圆柱的侧面积S2rl2.空间几何体的结构特征1给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的个数为()A2 B3C4D5C(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知2以下命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3B命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以3下列结论正确的是 ()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线DA错误如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥图图B错误如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥C错误由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确规律方法解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略空间几何体的三视图考法1已知几何体，识别三视图【例1】(1)(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() (2)一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为() (1)A(2)D(1)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD，故选D考法2已知三视图，判断几何体【例2】(1)(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为() A1 B2C3D4(2)(2019郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_ (1)C(2)2(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C(2)由三视图可知该三棱锥的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面，所以三条侧棱长分别是2，2.故该三棱锥中最长棱的棱长为2.考法3已知三视图中的两个视图，判断另一个视图【例3】(1)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()(2)(2018衡水模拟)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ()(1)C(2)C(1)由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C(2)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是，可知该几何体的底面积是，由图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C规律方法1.已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚2已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉(2)明确三视图的形成原理，“直角本由垂线生，虚线皆因遮挡起”，并能结合空间想象将三视图还原为直观图(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则(4)对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同 (1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为() A1BCD2(2)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其主视图是边长为2的正方形，则此三棱柱左视图的面积为 ()A B2 C2 D4(1)C(2)B(1)由三视图可知ADBCCDDEEB1，AEAC，AB.所以最长棱棱长为.(2)其左视图为一矩形，其宽为三棱柱底面正三角形的高所以面积S2.空间几何体的直观图【例4】(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()Aa2Ba2Ca2Da2(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形(1)D(2)C(1)如图所示的实际图形和直观图，由图可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa，所以SABCABCDaaa2，故选D(2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224(cm)，CDCD2 cm.所以OC6(cm)，所以OAOC，故四边形OABC是菱形，故选C规律方法1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出2平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S之间的关系SS，能更快捷地进行相关问题的计算 (1)(2018襄阳模拟)如图所示，直观图四边形ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_(2)如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是_cm.(1)2(2)8(1)把直观图还原为平面图形得：在直角梯形ABCD中，AB2，BC1，AD1，所以面积为(2)22.(2)由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB cm，对应原图形平行四边形的高为2 cm，所以原图形中，OABC1 cm，ABOC3 cm，故原图形的周长为2(13)8 cm.1(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3D2B设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM2，ON4，则从M到N的最短路径为2.2(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正(主)