高考数学第1节绝对值不等式教学案文（含解析）北师大版选修4_5.docx

第一节绝对值不等式考纲传真1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图像求解基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(2)不等式|a|b|ab|等号成立的条件是ab0()(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0()(4)当ab0时，|ab|a|b|成立()答案(1)(2)(3)(4)2设a，b为满足ab0的实数，那么()A|ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b|D|ab|a|b|Bab0，|ab|a|b|ab|.3不等式1|x1|3的解集为()A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)D原不等式等价于1x13或3x11，0x2或4x1的解集解(1)由题意得f(x)故yf(x)的图像如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为x或1x3或x5.规律方法1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想2解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解绝对值三角不等式的应用【例1】(1)若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解因为|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值为7.(2)若a2，xR，求证：|x1a|xa|3.证明因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3成立规律方法利用绝对值三角不等式求最值(或证明)(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件是要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式 已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|.求证：|y|.证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.绝对值不等式的综合应用【例2】已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.所以f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)规律方法设函数f(x)中含有绝对值，则(1)f(x)a有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解 (2019郑州第二次质量预测)已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，由f(x)g(x)，得|2x1|x|.两边平方整理，得3x24x10，解得x1或x.所以原不等式的解集为(，1.(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x|.令h(x)|2x1|x|，则h(x)由分段函数图像可知h(x)minh，从而所求实数a的取值范围为.1(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|1成立若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,22(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a