概率论与数理统计6讲.ppt

概率论与数理统计 第6讲,本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),全概率定理和贝叶斯定理,例 市上供应灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙厂(A )占30%, 甲,乙厂的产品合格率分别为95%, 80%, B表示产品合格, 求总合格率P(B),解 由于B=AB +AB为二互斥事件之和,还可以进一步计算, 如果买到一合格品, 此合格品是甲厂生产的概率P(A|B):,例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签, 求乙抽到难签的概率P(B),解 利用B=AB +AB, 且 AB 与AB 互斥, 得,从形式上看事件B是比较复杂的,仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率. 于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件AB与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有,证 由于A1,A2,两两互不相容, 因此, A1B,A2B,也两两互不相容. 且,全概率定理的图形理解,如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A1, A2,An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合,全概率定理解题的思路,例 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率,解 假设A0,A1,A2,A3为第一次取到0个,1个,2个,3个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件. 再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,则有:,综合就是,贝叶斯定理 若A1,A2,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B, 有,证 由条件概率的定义得,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试验后, 观察者只能看到最后的结果事件B, 却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,全概率公式和贝叶斯公式可以用表格计算:,例 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉, 产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各车间的次品率依次为4%, 2%, 5%. 现在从待出厂产品中检查出1个次品, 试判断它是由甲车间生产的概率,解 设事件B表示“产品为次品“, A1,A2,A3分别表示“产品为甲,乙,丙车间生产的“, 显然, A1,A2,A3构成一完备事件组. 依题意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%,则由贝叶斯公式得,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组, 而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事件组, 这时的全概率与贝叶斯公式为, (应在考试前专门将它们记住).,例 假设在某特定人群中某种疾病的发病率为p. 对此疾病有一种血检方法. 如果一个人得了这种病, 则此血检结果呈阳性的概率为, 而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为. 求出当化验为阳性时,此人得了这种病的概率和没得这种病的概率.,解 设A为事件“待检者患病“, B为事件“试验结果阳性“, 则,1987年理工科硕士入学考试题,有两个箱子, 第一个箱子有3个白球2个红球, 第二个箱子有4个白球4个红球. 现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里, 再从第2个箱子中取1个球, 此球是白球的概率为_, 已知上述从第2个箱子中取出的球是白球, 则从第1个箱子中取出的球是白球的概率为_.,解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B为从第2个箱子取出的是白球, 第一步试验中的 A 与A 构成完备事件组, 则,1999年MBA试题,甲盒内有红球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙盒内有红球5只, 黑球3只; 丙盒内有黑球2只, 白球2只, 从这3只盒的任意一只中取出1只球, 它是红球的概率是( ) (A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225,解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件, 这是第一步试验的各事件, 构成完备事件组. 假设B为最后取出的是红球的事件.,则,例6 经分析利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 如利率下调, 股价上涨的概率为80%, 而在利率不变的情况下, 股价上涨的概率为40%. 求股价上涨的概率.,解 记A为事件“利率下调“, 则A为“利率不变, 记B为事件“股价上涨“. 据题设知 P(A)=60%, P(A )=40%, P(B|A)=80%, P( B|A)=40%. 于是 P(B)=P(AB)+P(AB ) =P(A)P(B|A)+P(A )P( B |A ) =0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱装100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求: (1) 任取一箱, 从中任取一个为废品的概率; (2) 若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.,解 记事件A,B分别为甲, 乙两厂的产品, C为废品, 则 (1),(2),例8 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整良好的概率是多少?,解 设A为事件“产品合格“, B为事件“机器调整良好“. 已知 P(A|B)=0.98, P(A|B)=0.55, P(B)=0.95, P(B)=0.05, 所需求的概率为P(B|A). 则,这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 即为先验概率. 而在得到信息(即生产出的第一件产品为合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即为后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.,例9 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为%4, 2%, 5%, 现从中任取一件 (1) 求取到的是次品的概率; (2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.,解 记A1,A2,A3为抽到甲乙丙各厂的产品, B为抽到的是次品. P(A1)=0