数学毕业设计.doc

foshan university 本科生毕业论文本科生毕业论文 几类非线性发展方程的特解几类非线性发展方程的特解 学学 院：院： 理理 学学 院院 专专 业：业： 信息与计算科学信息与计算科学 学学 号：号： 20082542022008254202 学生姓名：学生姓名： 王明明王明明 指导教师：指导教师： 杨灵娥杨灵娥 教授教授 二二一二一二 年年 六六 月月 2 摘摘 要要 (研究目的、研究方法、成果和结论,不少于 300) 在本文中，我们通过正弦余弦和 sh-ch 的方法，建立非线性波动方程的实数特解。在研 究过程中，我们可以发现正弦余弦方法局限较大，只能在限定的条件下才可以求解。但是 sh-ch 方法却可以弥补其带来的缺陷，故我在研究非线性发展方程的实数特解过程中，运用 两个方法求解，从而获取某些模型行波的解决方法，以最小的代数。正弦余弦方法应用到 选定的物理模型，来说明我们的主要成果的使用。 关键字：非线性波动方程;正弦余弦；sh-ch 3 a ab bs st tr ra ac ct t a sine-cosine method for handling nonlinear wave equations in this paper, we establish exact solutions for nonlinear wave equations. a sine-cosine method is used for obtaining traveling wave solutions for these models with minimal algebra. the method is applied to selected physical models to illustrate the usage of our main results. key words: a sine-cosine method ；nonlinear wave equation 4 目目 录录 引言5 1 几种非线性发展方程求解方法的简介6 2 不同方程的求解8 2.1 0)( 2 ttt xxxxxxx uuuu方程8 2.2 boussinesq方程11 2.3 改进的 korteweg-de vries方程13 2.4 改良的 boussinesq方程17 结语20 参考文献21 致谢22 5 引引言言 在工业化发达的今天，非线性发展方程被广泛应用于描述复杂的物理现象的模型中。 在各个领域的科学，特别是在流体力学，固体物理，等离子体物理，等离子体波和化学物 理中，我们用非线性发展方程来描述不同类型的物理模型的解决方案。但是处理这些模型 时，我们遇到基本数学问题之一是，处理非线性发展方程。所以在数学中，解决非线性发 展方程问题变得尤其重要。 一般情况下，非线性发展偏微分方程是不能直接求出结果，我们必须通过平衡方程中 的非线性项的次数和系数,以取得他们的行波解。在过去的几十年里，不少取得的显式行和 非线性演化方程的孤立波解的一些方法提出了一个强大的方法，如正弦余弦的方法，sh-ch 方法，齐次平衡法，jacobi 椭圆函数方法，hirota 双线性方法和 f-展开法已被用来研究非 线性发展方程。现在我们简单的用正弦余弦的方法和 sh-ch 方法来求解几个非线性发展方 程的特解。 6 1 几种非线性发展方程求解方法的几种非线性发展方程求解方法的简介简介 对于一般非线性方程： 0,.),(p , ttxtxxx uuuuu （1） 其中 p 为关于未知函数及其导数的多项式，而现在我们用正弦余弦方法和 sh-),(txu ch 方法来处理。),(txu 因为 u 是关于 x、t 的因式，故我们可以令 , ct-x （2） 其中 c 为未知常数，故我们令 . (3) )(),(utxu 由上面等式的代换，则可以得到 ， d d c t 2 2 2 2 2 td d c ， ， d d x 2 2 2 2 2 xd d c （4） 由（4）式 带入（1）式，得 0,.),(p uuu （5） 其中， 。 d du u )( 为了方便求解，我们再通过多次积分将（5）式中最小求导次数化成 0. 1.1 sine-cosine 法 令 7 ; ; 0 );(sin ),(u 其他 tx （6） 或者 ; ; 0 );(cos ),(u 其他 tx （7） 其中， 为常量 求得（6）、（7）对 的一阶导数、二阶导数等等； ),(sin) 1()(sin)(u ),(sin)cos()(u ),(sin)(u );(sin)(u 22222n 1n n nnnn nn n nnn n （8） 和 . )(cos) 1()(cos)(u ),(cos)sin()(u ),(cos)(u );(cos)(u 22222n 1n n nnnn nn n nnn n （9） 1.2 sh-ch 方法 令 );(h),(u stx （10） 和 );(h),(u ctx （11） 8 而对应上式的求导为 )()()()( )()( )(s)( 2222 1 shchshu chshu hu （12） 和 )()()()( )()( )()( 2222 1 chshchu shchu chu （13） 将（8）（9）或（12）（13）带入方程（5）得到一个关于的方程，通过平衡方程 中的非线性项的次数和系数，求出 ，。然后带回（6）（7）或（10）（11），这 样就可以求出的解，即是非线性方程（1）的解。 ),(utx 两类方法都是通过化简方程，取特殊形式，再从方程的平衡出发，求得方程的特解！ 2 不同方程的求解不同方程的求解 2.1 0)( 2 ttt xxxxxxx uuuu方程方程 已知方程 0)( 2 ttt xxxxxxx uuuu （2.1.1） 为把上方程方便求解，令 则：t)(),(cxutxu，其中 0)( 22 uucuuc 0)( 22 uucuuc （2.1.2） 通过积分，可以将（2.1.2）化简为 0 22 uucuuc （2.1.3） 再将，（6）式带入（2.1.3）中， 9 0)(sin) 1()(sin)(sin)(sin) c( 2222222 c 通过平衡上式方程中的非线性项的次数和系数，可以得到 ; 01 ) 1( 22 )( 22 222 cc 解上式方程组，得 0; ) c( 2 3 2 cc 2 2 2 2 cc c （2.1.4） 如果我们用余弦的方法（7），带入（2.1.3）可以得到同样的解； 故将（2.1.4）带入（6）、（7），有 0;)( 2 sin)( 2 3 ),(u 2 2 22 ccctx cc cctx 和 0;)( 2 cos)( 2 3 ),(u 2 2 22 ccctx cc cctx 但是上式方程特解必须满足，而当时，上式方程特解就不能成0 2 cc01c 立。为了求出方程在的实数方程特解，我们现在用 sh-ch 方法求解方程特解.01c 现在我们令 );(h),(u stx 和 );(h),(u ctx 而对应上式的求导为 10 )()()()( )()( )(s)( 2222 1 shchshu chshu hu （2.1.5） 和 )()()()( )()( )()( 2222 1 chshchu shchu chu （2.1.6） 将上式（2.1.5）代入（1.4） 0)() 1()()() 1( 0)()()()()()()( 2222222 222222 shshshcc shchshshshcc 为了达到上式左边的等式恒等于 0，所以我们令 0) 1( 0) 1( 22 22 222 cc 解上式方程组，有 0; ) c( 2 3 2 cc- 2 2 2 2 cc c ）（ 则，方程的特解为 01;)( 2 s ) c( 2 3 ),(u 2 22 cctx cc hctx 若用（2.1.6）代入方程（2.1.3），同样可以得到相同的答案，即 0; ) c( 2 3 2 cc- 2 2 2 2 cc c ）（ 则方程的特解为 11 01;)( 2 c ) c( 2 3 ),(u 2 22 cctx cc hctx 当时，将带入（2.1.3），有011 0)(sin)(sin)sin() 1( 2222 c 0)(sin)(sin)sin() 1( 222 c 22 )1( 0 c （2.1.7） 将（2.1.7）带入（6）故0),(utx 同理，用余弦方法求解，有相同的解0),(utx 2.2 boussinesq 方程方程 已知方程 0)( 2 xxxxxxxxtt uuuu 为把上方程方便求解，令 则：t)(),(cxutxu，其中 0)( 22 uuuuc 0)( 22 uuuuc 通过积分，可以将上式化简为 0 22 uuuuc （2.2.1） 再将，（6）式带入（2.2.1）中，可整理出 0)(sin) 1()(sin)(sin)(sin) 1( 2222222 c 所以， 12 01 ) 1( 22 ) 1( 22 222 c 解上式方程组，得 01c ) 1( 2 3 2 1-c 2 2 2 2 ； c （2.2.2） 如果我们用余弦的方法（7），带入（2.2.1）可以得到同样的解； 故将（2.2.2）带入（6）、（7），有 1;)( 2 1 sin) 1( 2 3 ),(u 2 2 22 cctx c ctx 和 1;)( 2 1 cos) 1( 2 3 ),(u 2 2 22 cctx c ctx 但是上式方程特解必须满足，而当时，上式方程特解就不能成立。1 2 c11c 为了求出方程在的实数方程特解，我们现在用 sh-ch 方法求解方程特解.11c 现在我们令 );(h),(u stx 和 );(h),(u ctx 而对应上式的求导为 （2.2.3） )()()() 1( )()( )(s)( 2222 1 shchshu chshu hu 和 13 （2.2.4） )()()()( )()( )()( 2222 1 chshchu shchu chu 将上式（2.2.3）代入（2.2.1） 0)() 1()()() 1(1 0)()(s1)() 1()(s)(s1 0)()()() 1()(s)(s1 2222222 2222222 2222222 shshshc shhshhhc shchshhhc （）（ ）（ 为了达到上式左边的等式恒等于 0，则 0) 1( 0) 1(1 22 22 222 c 解上式方程组，有 01c ) 1( 2 3 2 c-1 2 2 2 2 ；i c 所以，方程的特解为 1;)( 2 1 sin) 1( 2 3 ),(u )( 2 1 s ) 1( 2 3 ),(u 2 2 22 2 22 cctx c ctx ctxi c hctx 若将（2.2.4）代入（2.2.1）可以得到方程特解 1;)( 2 1 cos) 1( 2 3 ),(u 2 2 22 cctx c ctx 当时，将带入（2.2.1），有011 0)(sin)(sin)sin() 1( 2222 c 0)(sin)(sin)sin() 1( 222 c 14 22 )1( 0 c 将上式带入（6）故 0),(utx 同理，用余弦方法求解，有相同的解 0),(utx 2.3 改进的改进的 korteweg-dekorteweg-de vriesvries 方程方程 已知方程 0u6u 2 xxxx uu t （2.3.1） 为把上方程方便求解，令 则：t)(),(cxutxu，其中 06 2 uuucu 0)(2 3 uucu 0)2( 3 uucu （2.3.2） 通过积分，可以将上式（2.3.2）化简为 02 3 uucu （2.3.3） 再令 ; ; 0 );(sin ),(u 其他 tx 并将上式带入（2.3.3）中， 0)(sin) 1()(sin)(sin2)(sin 222233 c 所以， 15 ； 01 ) 1(2 23 22 22 c 解上式方程组，得 ； 0; 1 c c c （2.3.4） 如果我们用余弦的方法（7），带入（2.3.3）可以得到同样的解； ； 0; 1 c c c 故将（2.3.4）带入（6）、（7），有 0; )(csin),(u 1 cctxctx （2.3.5） 和 0; )(cos),(u 1 cctxcctx （2.3.6） 但是上式（2.3.5）(2.3.6）必须满足，0c 而当时,为了求出方程的实数解 0c 令 );(h),(u stx 和 );(h),(u ctx 而对应上式的求导为 16 )()()()( )()( )(s)( 2222 1 shchshu chshu hu （2.3.7） 和 )()()()( )()( )()( 2222 1 chshchu shchu chu （2.3.8） 将（2.3.8）代入方程（2.3.3）可得到： 0)() 1()(2)() 1( 0)()(1)() 1()(2)( 0)()()()()(2)( 223322 222233 22223 chchchc chchchchchc chshchchchc）（ 权衡上式等式可得到 01 ) 1(2 23 ) 1( 22 22 c 3 3 3 c 3 c 1 若用（2.3.7）代入方程（2.3.3）求解，通过上面相同解法，可以得到相同的结 果 3 3 3 c 3 c 1 所以，方程特解为 17 ;)( 3 c c 3 c ),(u 3 1 3 ctxhtx （2.3.9） 和 ;)( 3 c s 3 c ),(u 3 1 3 ctxhtx （2.3.10） 可以看出，对于 ch-sh 方法求解改进的 kdv 方程，相对比 sine-cosine 方法对 c 的取值有较大范围。这里除对于(2.3.9)、（2.3.10）式不满足，无论对，还0c0c 是都可以满足(2.3.9)和（2.3.10）。0c 当时，将带入（4.5），有011 0)sin()(sin2)sin( 233 c 0)sin()(sin2)(sin 232 c 2 2 0 c （2.3.11） 或 为任意值、 c 0)sin( （2.3.12） 将（2.3.11）或（2.3.12）带入（6）故 0),(utx 同理，用余弦方法求解，有相同的解 0),(utx 2.4 改良的改良的 boussinesq 方程方程 已知方程 0)(au xxxxxx n xx duubu tt （2.4.1） 18 为把上方程方便求解，令 则：t)(),(cxutxu，其中 0)( 2 duubauuc n 0)( 2 dubuauuc n 通过积分并取常数为 0，可把方程化简为特殊方程 0 2 dubuauuc n （2.4.2） 再令 ; ; 0 );(sin ),(u 其他 tx 把上式代入（2.4.2），整理得 0)(sin) 1()(sin)(sin)(sin)( 22222 ddbac nn 为了使上式平衡，有 01 ) 1( 2 21 222 db n dac n 解上式方程组，得 1, 0; 2 )1)( 2 1 1 1 1 2 2 nb b nac d acn n n （2.4.3） 如果我们用余弦的方法（7），带入（2.4.2）可以得到同样的解； 故 （1 1） 当时，将（2.4.3）带入（6）、（7），有11n， 19 0d0;)( 2 1 sin 2 )1)( ),(u 2 1 1 1 2 、bctx d acn b nac tx n n 和 0d0;)( 2 1 cos 2 )1)( ),(u 2 1 1 1 2 、bctx d acn b nac tx n n （2 2） 当时，方程（2.5.1）为1n baaduua xxxxxx tt 00 , 0u 经过化简、积分等步骤，可得到 0)(sin) 1()(sin)(sin)( 2222 0 2 ddac 因在上式中没有能与项相互平衡的项，故无解。)(sin 2 即，当时，boussinesq 方程无法求解。1n （3 3） 当时，即，有011 0)sin()(sin)sin()( 22 dbac nn 0)sin()(sin)sin()( 212 dbac nn 22 1n 0 dac （2.4.4） 或 为任意值、 c 0)sin( （2.4.5） 将（2.4.4）或（2.4.5）带入（6）故 0),(utx 同理，用余弦方法求解，有相同的解 0),(utx 20 结结语语 以上，正弦余弦方法处理不同方程的解答过程。其实数学方法有许多种，但是只要我 们真正理解一种方法，并能举一反三灵活运用，我们是可以解决许多不同的数学问题的。 正弦余弦法利用了我们学习的求导、积分和正弦余弦的知识求解，方便大多数同学理解和 记忆。亦如上文，我们用第一章的内容就可以笼统的概括正弦余弦法的求解过程，而第二 章则是运用第一章的原理求解不同方程。 求解非线性方程的方法千奇百怪，正弦余弦法可以被大多数普通同学理解和掌握，方 便易懂。 21 参参考考文文献献 1 m.j.ablowitz,p.a.clarkson ,soliton nonlinear evolution equations and inverese scatterin; 2 a.m. wazwaz, mathematical and computer modelling 40(2004)499-508(2003). 3 zhaosheng feng, physics letters a 293(2002)57-66. 4 ahmet bekir, chaos solitons and fractals 37(2008)842-848 5 zhaosheng feng,wave motion