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单跨梁的弯曲理论,第二章,教学目的 1.通过本章内容的学习，能够掌握梁的弯曲微分方程及其解； 2.熟练掌握梁的支座及边界条件，梁的弯曲要素及计算； 3.掌握梁的复杂弯曲； 4.了解梁的内力计算，剪力对梁的弯曲变形影响 重点及难点 1.符号法则，边界条件； 2.初参数法求梁的弯曲要素； 3.叠加法求梁的弯曲要素，画弯矩图；, 2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分 基本概念： 梁： 受横向外载荷作用而发生弯曲变形的杆件。 单跨梁：仅在两端有支座支持的梁，称之为“单跨梁”。 基本假设：平断面假设（在纯弯曲条件下严格满足） 。 一、梁的弯曲微分方程 1、符号法则： （1）坐标系：采用右手坐标系，y轴向下为正； （2）横向载荷：P、q(x)向下为正 （3）梁的挠度v (x) ：向下为正。 （4）梁的断面转角(x)：顺时针方向为正 （5）梁断面的弯矩M(x) ：在左断面逆时针方向为正， 右断面顺时方向为正（使梁产生上凸变形为正） 。 （6）梁端面的剪力N (x) ：在左断面向下为正，在右断面 向上为正（逆时针转为正） 本节寻求梁挠度曲线方程式的基本方法：初参数法,2、假设 （1）平断面假设：指梁在弯曲前的断面在弯曲后仍为平面，即忽略了剪应力引起的翘曲（翘曲：对于非圆截面杆件受扭矩时，横截面的周长将改变原来的形状，并不在同一平面内，因而发生翘曲）； 对于细长梁（高跨比很小时 ），梁内的正应力时弯曲切应力的十几倍甚至几十倍，即剪力对线性分布的正应力的影响很小。 （2）平面弯曲假设：载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面曲线； （3）小变形条件： （4）材料符合胡克定律：,梁的弯曲微分方程式,如下图一单跨直梁。假定此梁有一对称面xOy，并规定x轴在梁的中性层上，向右为正，轴向下为正，轴,与组成右手坐标系统。梁的外荷重限于在xOy平面内，于是梁将发生xOy平面内的弯曲。,弯曲时，x轴上点的垂向位移叫做梁的“挠度”，v(x)叫做梁的“挠曲线”，v的正向与y轴的正向相同。,y,x,O,V（x）,y,x,O,（1）小变形条件：根据平断面假设，梁上原来相距为 dx的两个断面变形后将相互转动 图(a)，(b)为梁的断面。并规定弯矩 M正向如图所示:,o,x,y,y,dx,q(x),dx,于是：,(a),(b),(2-1),(2)由微积分学分学知，该坐标系下小变形时,(3)梁断面上弯曲正应力合力为零，即,(2-5),（因转角变化率为负，顺时针为正）,梁断面对z轴的惯性矩,(2-6) (2-8),3、基本公式,（2-9）,梁的弯曲要素：弯矩M，剪力N、转角、挠度v,(2-13),O,l,x,y,(2-14),(2-15),现应用这个概念于在跨度中受集中力作用的梁。,O,b,l,x,y,a,c,x,d,综上所述，如图对于一般荷重作用下的挠曲线方程式可表示如下：,O,x,b,c,y,a,d,(2-17), 2-2 梁的支座及边界条件,梁的弯曲微分方程的积分常数需要用梁端的边界条件来确定,边界条件：梁端弯曲要素的特定值或弯曲要素之间的特定关系，取决于梁端的支座情况。,下面介绍几种船舶结构中常用的边界条件： 1.自由支持端（简支端） 2.刚性固定端 3.弹性支座 4.弹性固定端 5.完全自由端 6.一般情况,1、自由支持端（自由支持在刚性支座上) 特点：不允许梁端发生挠度，而对梁两端转动无限制。,如图：,2、刚性固端（刚性固定在刚性支座上） 特点：它阻止梁端发生挠度和转动,如图:,3、弹性支座 如果前面的自由支持端，它在受力后将发生一个正比于支座力的挠度，叫做弹性支座。,左端断面：,右端断面：,弹性支座边界条件为：,自由支持在弹性支座 上的边界条件为：,刚性固定在弹性支座 上的边界条件为：,4、弹性固定端,等价于,节点受到的力 梁受到的力大小相等方向相反,M,M,柔度系数：单位弯矩引起的转动角度。,K刚度系数：单位位移引起的力矩,弹性固定在刚性支座上其边界 条件为：,在船体结构计算中，双层甲板船的上甲板横梁与甲板间肋骨对横梁的作用可视为弹性固定端，则甲板横梁可视为以单跨梁。见下图,5、完全自由端： 梁端没有支座，弯矩剪力都为零,6、一般情况： 弹性固定在弹性支座上时：,例1 如图，求两端自由支持在刚性支座上，受均布荷重作用的梁的挠曲线,O,y,l,x,思考：1、若梁两端为自由支持在弹性支座的边界，挠曲线及内力分布如何？,2、若改变梁两端弹性支座的刚度系数或柔度系数，挠曲线及内力分布如何？,例2 如图， 求受集中力作用的单跨梁的挠曲线方程式。梁的左端为弹性固定端，柔性系数为 ；梁的右端为弹性支座，柔性系数为,A,x,y,例3 如图，两端刚性固定的梁，不受外荷重，当其由支座发生位移时，求其挠曲线与断面弯矩与剪力。,x,y,l,解：1、建立如右图坐标系 2、对梁进行受力分析,m,y,x,l,补例：如左图所示两端简直单跨梁，梁长为l，右端受一集中力矩m作用，求梁两端转角。,o,解：1、建立如图所示 坐标系；,2、受力分析，此梁上无外载荷；,3、根据（2-14）写出梁挠曲线方程,0,l,4.左端边界条件，简化挠曲线方程,5.右端边界条件，求解另外两个初参数, 2-3 梁的弯曲要素表及应力计算,单跨梁的弯曲要素表,由于目前梁的弯曲公式是在小变形与材料符合胡克定律的前提下导得的，所以梁的弯曲要素与梁上的外载荷成正比，或梁的弯曲要素与外力成线性关系。这样，如果梁上受到几种不同的外力作用时，就可以用 “叠加原理”（Principle of superposition)来进行计算。,例1 如图，求梁中点挠度、端点转角并画出梁的弯矩图、剪力图。梁上所受的外力为集中外弯矩m及集中力P,并已知m= 0.2Pl。,v,解：将此梁分为一个仅受外弯矩m的梁及一个仅受集中力P的梁，,叠加起来得：,P,v,m,0.15Pl,0.2Pl,0.2Pl,0.25Pl,0.7P,0.3P,0.2P,0.5P,0.5P,0.15Pl,0.2Pl,例2 如图，计算一端刚性固定另一端自由支持梁的中点挠度，右端转 角并画出梁的弯矩、剪力图。,解：,P,Q,P,Q,P,Q,M,弯矩图,剪力图,例3 计算如图两端刚性固定梁的弯曲要素,解：,A,例4 计算如图一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画出弯矩、剪力图。,已知,解：,先求出弹性固定端弯矩：,梁化为：,v1,A,P,P,m,梁的应力,(2-34),h,梁的剪应力产生的原因,矩形断面：,式中：,(a)剪流,(b)S图,y,y,z,z,s,(a)剪流,(b)S图,工字形断面,最大剪应力为：,具有对称轴的闭口薄壁盒形断面,Aw为腹板面积, 2-4 剪切对梁弯曲变形的影响,dx,其做法是：不改变基本关系 ，而是在求出了梁的剪应力后， 单独考虑剪应力 产生的弯曲变形，再把所得变形与不考虑剪切时的结果相加。,本节我们要来考虑剪切对梁弯曲变形的影响。,下面分析为什么剪切会引起挠度。,在梁中取一个长度为dx的微段来研究,暂时先不考虑剪应力沿断面高度的变化，此时如图，在图中所示剪应力作用下，微段将发生倾斜，于是就产生了由于剪应力的存在而产生的挠度dv2。,基本概念,事实上梁断面的剪应力沿高度不是均匀分布的，在中性轴处剪应力最大的，在上下表面剪应力为零。因此，梁的剪应变必然在中性轴处为最大，在上下表面处为零。平面将发生翘曲。,这样所述的微段除了发生剪切挠度以外，断面不再保持平衡，如图所示,这样，我们通常把梁的剪切挠度定义为中性轴处剪切应变的挠度设中性轴处的剪切角为 ，,则有：,负号表示剪力N为负时，剪切挠度v2为正。,此时：挠度变形由弯矩及剪力共同产生,下面的问题是：考虑弯矩及剪力影响的挠度表达形式,弯矩引起的挠度：,(2-43),(2-46),(2-45),(2-44),(2-42),边界条件时注意到：,梁的挠度为v=v1+v2;,由于剪切变形在中性轴处的两端面仍保持垂直，因此认为剪切不影响断面的转角，从而梁段面的转角仍用下式表示：,梁的弯矩与剪力为,(2-47),(2-48),(2-49),利用初参数法求解考虑剪力影响的梁挠曲线 方程的基本步骤,（1）列出梁的通式表达式,（2）列出梁的边界条件,梁的挠度为v=v1+v2;,例 计算如图在自由端受集中力P作用的悬臂梁，考虑剪切的影响求其挠度.。,l,y,x,x=0时，,x=l时,M=0及N=-P,解：,可得：,当x=l时：,讨论：静定问题、非静定问题考虑剪切对弯曲的影响有什么不同。,利用初参数法求解考虑剪力影响的梁挠曲线 方程的基本步骤,（1）列出梁的通式表达式,（2）列出梁的边界条件,例 计算如图在自由端受集中力P作用的悬臂梁，考虑剪切的影响求其挠度。,l,y,x, 2-5 梁的复杂弯曲,(1)何谓梁的复杂弯曲问题,（2）梁轴向力对弯曲变形产生影响,横向载荷：梁上受到的是垂直于梁的轴线的荷重， 叫做梁的横向荷重； 纵向荷重：梁上受到的是沿着梁轴向作用的荷 重，叫做梁的纵向荷重； 复杂弯曲：梁上同时受到两种荷重情况下的弯曲.,x,y,梁复杂弯曲的微分方程式,微段静力平衡方程式：,略去高阶小量：,取微段：,微分方程式的解，初参数法,y,当xd时，积分上限为d。,(2-59),(2-60),例 如图受均布荷重q，两端自由支持并受轴向外力T作用的梁， 计算其弯曲要素 。,y,x,l,(2-65),(2-66),复杂弯曲辅助函数,(2-66),(2-69),(2-68),(2-67),y,l,如图， 受均布荷重 q，两端刚性固定并受轴向拉力T作用的梁,x,m1,m2,T,T,五、轴向力对梁弯曲要素