逻辑集合与计数原理.ppt

邏輯、集合與計數原理,數99丙 曾子軒 張郁苓 李承修,主題內容,一、簡單的邏輯概念：介紹或、且、否定及笛摩根定律 二、集合的定義、集合的表示法與操作 三、基本計數原理 四、加法原理、乘法原理、取捨原理,一、簡單的邏輯概念,“若P則Q”成立時，P稱為Q的充分條 件，Q稱為P的必要條件；以符號P Q表示命題“若P則Q”成立 如果命題“若P則Q”與其逆命題“若Q則P”皆成立，則P是Q的充要條 件，而Q也是P的充要條件，以符號P Q表示,命題介紹,原命題 ：P Q 逆命題 ：Q P 否定命題 ：P Q 否逆命題 ：Q P 原命題與否逆命題同真假 逆命題與否定命題同真假,或與且,“且”代表兩個條件必須同時成立；“或”則代表兩個條件中只要有一個條件成立即可(如果這兩個條件都成立也可以) 例1.“x=0且x=2”代表x“同時是0，又是2”，此為一個不能成立的命題 例2.“x2”代表”x2或x=2”，因此“22”是一個正確的命題,笛摩根定律,(AB)=AB,笛摩根定律,(AB)=AB,二、何謂集合？,集合的定義，最簡單的說法，即是在最原始的集合論樸素集合論中的定義，集合就是”一堆東西”集合裡的“東西”，叫作元素 習慣上，我們會用大小寫字母來代表集合或元素 稱為空集合，即集合內沒有任何元素 我們一般習慣把集合畫成圖形來說明一些集合關係，其圖形稱作文氏圖,常用名詞 Part 1,若x為集合A的元素，則稱x屬於A，記作 若集合A中的所有元素皆為集合B中的元素，則稱A包含於B，記作 。此時稱A是B的子集 舉例來說，若N所有正整數所成的集合，Z是所有整數所成的集合，則 且,常用名詞 Part 2,交集 ：若A、B為兩集合，則集合內的元素為為A且B的元素，以圖形來看就是下圖兩圓相交的區域。,常用名詞 Part 3,聯集 ：若A、B為兩集合，則集合 內的元素為為A或B的元素，以圖形來看就是下圖兩圓所包含的所有區域。,常用名詞 Part 4,差集：若A、B為兩集合，則集合 定義為 。 例： 則,常用名詞 Part 5,乘積集合：兩個集合X和Y的乘積集合（Cartesian product），表示為X Y，是其第一個構件是X的成員而第二個構件是Y的一個成員的所有可能的有序對：,三、基本計數原理,窮舉法 樹狀圖,窮舉法,What is 窮舉 How to 窮舉： 使用時機 好的例子不好的例子 窮舉方法： 順序窮舉 / 排列窮舉 / 組合窮舉,What is 窮舉,遇到一個問題 列出問題的所有可能解 根據題目條件逐個判定 滿足條件 得到一個解,窮舉使用時機,問題可能解的個數不是特別大 答案的變化具有一定的規律性,窮舉法的範例,給定不考慮運算優先順序的4個算數符號 輸入任5個正整數 A1 A2 A3 A4 A5 在每個相鄰的正整數間填入一個上述的算數符號，構成一個算數表達式 給定一個M，使該算數表達式剛好為M 求出，所有可能的算數表達式,窮舉法的範例 (cont.),A1(+-x)A2 (+-x) A3 (+-x) A4 (+-x) A5 最多僅有 44 種解法 有規律：4個位置所要填的算數符號 用去填充 用一個4重迴圈，即可以完成,不適用窮舉的例子,給定一個正數的集合 A = a1,a2,a3,an ,(n30) 4個算數符號不考慮運算優先順序 從A中選取若干的元素，用上述算數符號連結起來成一個表達式 給定一個M，求出，以最少的運算次數可以產生M的算數表達式,不適用窮舉的例子(cont),此例與上個例子均為根據結果來組合表 達式，不同的是：集合A中的個數和順序選取無法確定 無法用固定的循環來控制和窮舉 適合用搜索回朔法,窮舉的方法,排列窮舉/組合窮舉 利用數學中排列組合的知識，產生出問題的答案的所有可能解，根據題設中答案的檢驗條件去判斷是否有滿足的答案。 順序窮舉 將問題的答案範圍內所有情況與自然數建立起一個一一對應的關係，從而可以按自然數的變化順序去窮舉問題的所有可能解。,樹狀圖,處理離散事物的計數時，依問題的特性，適當的分類，以樹狀的圖形結構表示，此圖形稱 樹狀圖,樹狀圖圖例,四、加法原理、乘法原理、取捨原理,加法原理 乘法原理 取捨原理,何謂加法原理,加法原理：若A與B是不相交的有限集合，則 |A B| = |A| + |B|。 例：從甲地到乙地有飛機、火車與巴士等三種交通工具可到達,其中飛機每天有3班, 火車每天有15班，巴士每天25班，若A先生欲從甲地至乙地，很明顯地，此問題的A先生只能選擇一種交通工具的某個班次，故共有3+15+25=43個交通班次可選擇。,何謂乘法原理,乘法原理：假設A與B是不相交的有限集合，則|A B| = |A|B| 例：某迷宮有進出口共四處，一人由不同進出口進出的方法共有幾種? 解：第一個步驟: 進4種選法。 第二個步驟: 出3種選法。 由乘法原理知, 共有43種方法。,取捨原理,取捨原理(又稱排容原理)：令A, B, C為三個有限集合，則 （1）|AB|=|A| +|B| |A B|。 （2）|ABC|=|A|+|B|+|C|AB| |B C|C A|+|ABC|。,教學網頁設計理念,本教學網頁打算透過生活化主題，帶領學生漸進認識學習排列組合，希望能以更生動的方式幫助學習，激發學生們學習的興趣。,教學網頁預期目標,了解簡單的邏輯概念，並能熟知符號的運用。 知道如何操作集合的表示與運算。 能運用加法原理、乘法原理以及計數原理解決相關數學問題。,教學網頁設計規劃流程,首先介紹基本的符號以及觀念，帶領學生對邏輯與集合有初步的認識。 從生動、生活化的互動式活動融入情境，並進一步了問題背後的更多的數學概念。 將重要的概念做統整，以利學生對知識的理解。 設計通關測