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1,第九节 常系数非齐次线性微分方程,待定系数法,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,19,例4.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,20,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,21,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,22,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,23,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,24,4. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,25,于是所求解为,解得,26,5.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,27,作业,P317 1 (1)
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