概率论与数理统计5.1.ppt

第五章 参数估计与假设检验,统计推断是一个从样本值推断未知总体的过程。 依据推断形式不同，统计推断可分为两大类：估计问题和假设检验问题。 估计问题又分为参数估计和非参数估计； 假设检验问题也分为参数假设检验和非参数假设检验。 本章将介绍参数估计和假设检验的基本思想和方法，内容包括求参数点估计的经典方法，正态总体参数的假设检验与区间估计，其它总体(包括小样本和大样本情形)的区间估计，多参数和非参数假设检验。,5.1 点估计概述 5.2 参数的最大似然估计与矩估计 5.3 置信区间 5.4 假设检验概述 5.5 单正态总体的参数假设检验 5.6 双正态总体的参数假设检验 5.7 一般总体的参数假设检验 5.8 拟合优度检验与独立性检验,本章目录,5.1 点估计概述,一、什么叫点估计 二、评价估计量的标准,一、什么叫点估计,所谓参数是指在原理上可以从整个总体中计算出来的数。比如： 总体数字特征； 在已知总体分布类型时，总体分布中的未知参数； 总体分布中未知参数的函数。 参数通常用希腊字母，来表示。 参数估计就是用总体的样本值对未知的参数进行统计推断，包括点估计和区间估计。 点估计就是一个用来估计参数的数。 在进一步介绍点估计问题的一般提法前，我们先来看一个例子。,解 由于X P()，故有=E(X)，我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)。现由已知数据计算得到,得的估计为1.22,在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数是一个随机变量，假定它服从以 0 为参数的泊松分布，参数为未知，现有以下的样本值，试估计参数。,例,点估计问题的一般提法,参数空间。,估计量,估计值,估计量和估计值统称为点估计，简称为估计，并简记为 。,点估计问题的一般提法(续),在点估计中，最基本的概念就是估计量，而估计量就是值域为参数空间的统计量。显然，一个估计量就是一种计算估计值的方法。给定一个估计量，也就给定了一种计算估计值的方法。,解 由题意有=E(X)，我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)。现由已知数据计算得到,例 5.1,二、评介估计量的标准,因此，点估计的概念是相当宽松的。一个未知的参数的估计量是不唯一的。原则上任何值域为参数空间的统计量都可以作为未知参数的估计量。,为从众多的估计量中选用一个好的估计量，必须给出评介估计量好坏的标准。 本节简单介绍三条最基本的标准：无偏性、有效性及相合性(一致性)。,评价一个估计量(计算估计值的方法)的好坏，不能仅仅依据一次使用的结果，而必须由多次使用结果来衡量。,这是因为估计量是随机变量。对不同的样本值，就会得出不同的估计值。因此一个好的估计，应在多次使用中体现出优良性。,评介估计量的标准(续),这是因为估计量是随机变量。对不同的样本值，就会得出不同的估计值。因此一个好的估计，应在多次使用中体现出优良性。,1无偏性,用一台包装机包装标准重量为每包500克的奶粉，对于某一包奶粉而言实际重量可能比500克重，也可能比500克轻。 但如果这台包装机是准确的，不存在系统误差，每包奶粉重量与标准重量500克的偏差纯粹由随机误差引起的。 那么所有由这台包装机包装的奶粉的平均重量将正好为500克。,无偏性(续),这个简单的例子包含了无偏性的基本原理。,设想我们用估计量 来估计，对于一次使用来讲，得到的估计值有可能比大，也有可能比小。但如果我们反复地抽样，从而得到的一系列估计值 1，2， 。,从直观上讲，我们希望这些估计值的平均值 在m时能收敛于。,由大数定律可知，这个平均值在m时收敛于E( )。,由此我们得到无偏性的定义。,无偏性的定义,总体均值和方差的无偏估计,证：,总体均值和方差的无偏估计(续1),总体均值和方差的无偏估计(续2),例,D( ) D( ),则称 较 有效 .,设,和,参数 的无偏估计量，,绿色是采用估计量 ，14 组样本得到的14个估计值.,红色是采用估计量 ，14 组样本得到的14个估计值.,2有效性,若对于任意 ，,都是,有,例(续),无偏估计量 nX(1)有效。,试证当 n 1 时，的无偏估计量 较的,证 由于,另一方面，由于,所以当 n 1 时，,例 5.4,证：,例 5.4,在数理统计中常用到最小方差无偏估计.,它的定义是:,（也称最佳无偏估计）,若 满足：,（1） ， 即 为 的无偏估计；,则称 为 的最小方差无偏估计.,最小方差无偏估计,3 相合性(一致性),无偏性和有效性都是在样本容量 n 固定的的前题下给出的，我们自然希望随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定于待估参数的真值，这样，对估计量又有下述相合性的要求。,例 5.5,证：,例 5.6,证：,4. 渐近正态性,若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量 n 取得多大，都