余弦定理在生活中的应用.ppt

余弦定理在生活中的应用,小组成员：王雅蓉;杨盛丹;佘玉翡; 张丽娇;高思媛;张丽娟。,1、向量的数量积：,2、勾股定理：,证明：,余弦定理的着推导过程,余弦定理的着推导过程,解：,余弦定理的推导过程,定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。,推导公式：,余弦定理的证明,证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,坐标法,余弦定理的证明,证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,坐标法,余弦定理的证明,D,当角C为锐角时,证明：过A作AD CB交CB于D,在Rt 中,在 中,三角法,余弦定理的证明,当角C为钝角时,证明：过A作AD CB交BC的延长线于D,在Rt 中,在 中,D,例.已知b=8,c=3,A=600求a.,a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49,定理的应用,解：,a=7,余弦定理在实际生活中的应用,正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；,（2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.,1.测量中余弦定理的应用,例1 某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图， 分析已知及所求，解，求角. 再解，求出，再求出，从而 求出（即为所求）.,解：由图知， 在 中， 由余弦定理，得. 即. 整理，得， 解得 或 （舍）. 故 （千米）. 答：此人所在D处距还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.,2.航海中余弦定理的应用,例2 在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 分析：注意到最快追上走私船， 且两船所用时间相等，可画出 示意图，需求的方位角及由到 所需的航行时间.,解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有 ， 在 中， ， ， ， 根据余弦定理可得. 根据正弦定理可得. ，易知方向与正北方向垂直，从而. 在 中，根据正弦定理可得： ， ， ， 则有 ， 小时 分钟. 所以缉私船沿北偏东 方向，需 分钟才能追上走私船. 评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.,3.航测中余弦定理的应用,例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）. 分析：首先根据题意画出图形， 如图，这样可在和中解出山顶到 航线的距离，然后再根据航线的 海拔高度求得山顶的海拔高度.,解：设飞行员的两次观测点依次为 A和B，山顶为 ，山顶到直线的距离为 . 如图，在 中，由已知，得 ， ， . 又 （km）, 根据正弦定理，可得 ， 进而求得， （m）, 可得山顶的海拔高度为 （m）. 评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.,4.炮兵观测中余弦定理的应用,例4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.,综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需： （1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景； （2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.,定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,推导公式：,小结：,2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边