学案函数、基本初等函数的图像与性质.ppt

1.理解函数的概念，特别是定义域、值域、对应法 则. 2.准确理解函数的性质,奇偶性、单调性、周期性. 3.灵活掌握函数图象的变换，平移、对称、翻折、 旋转等. 4.理解二次函数、并能熟练解决二次函数的有关问 题. 5.理解指数函数、对数函数、幂函数的概念及性质, 并能利用性质解决数学问题. 6.了解分段函数，并能简单应用.,学案6 函数、基本初等函数的图象与性质,1.(2009全国)设函数f(x)的定义域为R，若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数，则 （ ） A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 解析 由函数y=f(x+1)是奇函数知， f(x+1)=-f(-x+1), 由函数y=f(x-1)是奇函数知， f(x-1)=-f(-x-1). 由知，f(-x)=-f(2+x), 由知，f(-x)=-f(x-2),f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x). 函数y=f(x)是以4为周期的函数， 由知，f(x-1+4)=-f(-x-1+4). f(x+3)=-f(-x+3),函数f(x+3)是奇函数. 答案 D 2.(2009全国)函数 的图象（ ） A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 解析 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.,A,3.（2009天津）设函数 则不等 式f(x)f(1)的解集是 （ ） A.(-3,1)(3,+) B.(-3,1)(2,+) C.(-1,1)(3,+) D.(-,-3)(1,3) 解析 由已知，函数先增后减再增 当x0，f（x）2，f（1）=3， 令f(x)=3,解得x=1,x=3. 当xf(1)=3, 解得-33.,A,4.(2009广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出 发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中 给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是 （ ） A.在t1时刻，甲车在乙车前面 B.t1时刻后，甲车在乙车后面 C.在t0时刻，两车的位置相同 D.t0时刻后，乙车在甲车前面 解析 由图象可知，曲线v甲比v乙在0t0、0 t1与x 轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在 乙车前面.,A,题型一 求函数的定义域和值域 【例1】(1)(2009江西)函数 的定义 域为 ( ) A.-4,1 B.-4,0) C.(0,1 D.-4,0)(0,1 (2)若函数y=f(x)的值域是 则函数F(x)=f(x)+ 的值域是 （ ） A. B. C. D.,解析 (1)由题意知 解得-4x0,得1t3;由y0,得 因此 在(1,3上是增函数.,t=3时,ymax= ;t=1时,ymin=1+1=2. 答案 (1)D (2)B 【探究拓展】求解这类问题时,一般有两种方法:一是 先求外函数的定义域,再把内函数代入;二是直接代 入,写出复合函数的解析式,使复合函数有意义即可, 这两种方法实际上都采用了整体代入的基本思想.,变式训练1 (1)(2008湖北)函数f(x)= 的定义域为 （ ） A.(-,-42,+) B.(-4,0)(0,1) C.-4,0)(0,1 D.-4,0)(0,1) (2)设 g(x)是二次函数,若fg(x)的 值域是0,+),则g(x)的值域是 ( ) A.(-,-1)1,+) B.(-,-10,+) C.0,+) D.1,+),解析 (1)不等式组 的解集为-4,0)(0,1). 所以函数f(x)的定义域为-4,0)(0,1). (2)由题意可知,fg(x)的值域是0,+), 所以函数g(x)的值域是0,+),又g(x)是二次函数, 则选项A,B都不可能,若g(x)的值域是1,+), 则fg(x)的值域也是1,+). 答案 (1)D (2)C,题型二 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性) 【例2】(1)(2009山东)已知定义在R上的奇函数 f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函 数，则 （ ） A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11) (2)已知函数 若f(0)=2 010，则 f(2 010)=_.,解析（1）因为f(x)满足f(x-4)=-f(x)， 所以f(x-8)=f(x), 所以函数是以8为周期的周期函数， 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3), 又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)=0， 得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1), 而由f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3) =-f(-3)=-f(1-4)=f(1), 又因为f(x)在区间0，2上是增函数， 所以f(1)f(0)=0,所以-f(1)0， 即f(-25)f(80)f(11).,（2）因为 即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数， 又2 010=5024+2, 则f(2 010)=f(5024+2)=f(2), 因为 所以f(2 010)= 答案 (1)D (2),【探究拓展】在准确理解函数性质的前提下,切记,奇 函数在原点处有定义,则f(0)=0;函数f(x)满足: f(x+a)=-f(x),则函数f(x)是以2a为周期的函数; 则函数f(x)是以2a为周期的函数; 则函数f(x)是以4a为周期的函数.,变式训练2 已知函数f(x)是(-,+)上的偶函数， 若对于x0,都有f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x) =log2(x+1),则f(-2 008)+f(2 009)的值为 （ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的 函数,则f(-2 008)=f(0),f(2 009)=f(1),所以 f(-2 008)+f(2 009)=f(0)+f(1)=log21+log22=1.,C,题型三 函数的图象问题 【例3】(2009山东)函数 的图象大致为 ( ),解析 函数有意义,需使ex-e-x0, 其定义域为x|x0，排除C，D， 又因为 所以当x0时函数为减函数. 答案 A,【探究拓展】(1)图象信息题可以较为全面的考查考 生的数学素质和能力,解法灵活多样,一定要灵活掌握 图象的变换;在利用图象求交点个数或方程解的个数 时,作图一定要准确，否则容易得到错误的结论. (2)若函数f(x)满足:f(x+a)=f(b-x),则图象关于直线 x=a+b对称;f(a+x)=-f(b-x)，则图象关于点 0)对称;函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图 象,关于y轴对称.,变式训练3 符号x表示不超过x的最大整数,如 =3,-1.1=-2，定义函数x=x-x，给出下列四个 命题:函数x的定义域是R，值域为0,1;方程 有无数解；函数x是周期函数;函数x 是增函数.其中正确的命题序号有 （ ） A. B. C. D.,解析 由题意作出函数x=x-x的图象如图所示, 结合图象可知,函数x的定义域是R,值域为0,1), 故错误;方程 的解的个数即函数f(x)=x的 图象与 的图象的交点个数,交点有无数个,故 正确；正确，周期为1；由图象易知错误. 答案 A,题型四 函数的综合应用 【例4】已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意 x,yR均有f(x+y)=f(x)+f(y)，又对任意的x0,都有 f(x)0,f(3)=-6. (1)判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)证明函数y=f(x)在R上为单调减函数； (3)试求函数y=f(x)在a,b(a,bZ,且ab0)上的值 域. (1)解 令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.再令y=-x, 得：f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=0,于是函数y=f(x)为奇函数.,(2)证明 对任意x,yR， f(y)+f(x-y)=fy+(x-y)=f(x)， f(x)-f(y)=f(x-y）. 设x1,x2R,且x1x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),显然x1-x20. 而由题意可知，对任意的x0,都有f(x)0, f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2), 函数y=f(x)在R上为单调减函数.,(3)解 由于函数y=f(x)在R上为减函数， 故y=f(x)在a,b上为减函数， y=f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b). 又由于f(b)=f1+(b-1)=f(1)+f(b-1) =2f(1)+f(b-2)=bf(1), 同理:f(a)=af(1). 又f(3)=-6=3f(1)，f(1)=-2， f(b)=-2b,f(a)=-2a， 因此函数y=f(x)在a,b上的值域为-2b,-2a.,【探究拓展】抽象函数的综合题一般难度较大,常涉 及到多个知识点,抽象思维程度较高,解题时需要把 握好如下三点:一是注意定义域的应用;二是利用函 数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“符号”;三是 利用函数的单调性去掉函数符号“f”,然后再求解.,变式训练4 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任 意x,y(-1,1)都有f(x)+f(y)= f(x)0，当 x(-1,0)时，有f(x)0. (1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)求证： (1)解 令x=y=0，得f(0)=0, 再令y=-x,得f(x)+f(-x)=0， 所以函数f(x)是奇函数.,(2)解 设-1f(x2), 所以f(x)在区间(-1,0)上单调递减,由奇函数的性质 可知,f(x)在区间(0,1)上也是单调递减的函数. 所以函数f(x)是定义域上的减函数.,(3)证明,【考题再现】 (2009北京)设函数f(x)=x3-3ax+b (a0). (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切,求 a,b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点. 【解题示范】 解 (1)f(x)=3x2-3a, 2分 曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切， 6分,(2)f(x)=3(x2-a) (a0), 当a0时，f(x)0，函数f(x)在(-，+)上单 调递增， 此时函数f(x)没有极值点. 8分 当a0时，由f(x)=0,得x= 9分 当x(-, )时,f(x)0， 函数f(x)单调递增， 10分 当x 时， f(x)0，函数f(x)单调递减， 11分 当x( ,+)时， f(x)0，函数f(x)单调递增， 12分 此时 是f(x)的极大值点, 是f(x)的极小值点. 14分,1.定义法是论证函数单调性的基本方法,而用导数法 论证则更快捷、省力、省时. 2.要正确理解奇函数和偶函数的定义,首先定义域要 关于原点对称,其次在定义域内应满足:f(x)=-f(-x) 或f(x)=f(-x). 3.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴 对称,反之亦然.因此也可以根据函数图象的对称性, 判断函数的奇偶性. 4.函数最值(极值)的求解类比于函数值域问题的求 解,方法颇多,导数法尤为重要.,一、选择题 1.(2009天津)设 则 ( ) A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 acb.,B,2.(2008山东)函数y=ln cos x 的图象是 （ ） 解析 y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 上单 调递减.,A,3.(2008安徽)在同一平面直角坐标系中，函数 y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数 y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，若f(m) =-1,则m的值为 （ ） A.-e B. C.e D. 解析 由题意知y=g(x)应为y=ex的反函数,即y=g(x)= ln x,而y=f(x)与y=g(x)=ln x图象之间关于y轴对称, 故可得y=f(x)=ln(-x),又f(m)=-1, 所以ln(-m)=-1,得-m=e-1,即m= .,B,4.(2009山东)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)= 则f(3)的值为 （ ） A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析 由已知得f(-1)=log25,f(0)=log24=2, f(1)=f(0)-f(-1)=2-log25, f(2)=f(1)-f(0)=-log25, f(3)=f(2)-f(1)=-log25-(2-log25)=-2.,B,5.已知函数f(x)=logsin 1(x2+ax+3)在区间(-,1)上递 增，则实数a的取值范围是 ( ) A.(-4,-2 B.-4,-2 C.(-4,+) D.(-,-2 解析 0sin 11, 1,即a-2, 又12+a1+30,a-4,a-4，-2.,B,6.设a1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满 足方程logax+logay=3,这时a的取值集合为 （ ） A.a|1a2 B.a|a2 C.a|2a3 D.2,3 解析 因为logax+logay=3，所以xy=a3, 即 又当xa,2a时,ya，a2,B,二、填空题 7.设a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与 最小值之差为 则a=_. 解析 因为a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最 大值与最小值分别为loga2a,logaa=1,它们的差为 则loga2= a=4.,4,8.设函数 的值为 _. 解析 因为 所以f(2)=22+2-2=4,则,9.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0,a1)在区间0, +)上是增函数,那么实数a的取值范围是_. 解析 f(x)=ax(2ax-3a2-1)ln a, 由题意知f(x)0对x0,+)恒成立. 当a1时，ln a0，所以2ax-3a2-10对x0, +)恒成立，则3a22ax-1,在0,+)上恒成立. a2 与a1矛盾.无解. 当0a1时，ln a0， 所以2ax-3a2-10对x0,+)恒成立， 则3a22ax-1在x0,+)上恒成立.,10.已知函数f(x)(xR)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且 f(1)=1,f(2)=2 010.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009)= _. 解析 f(x+1)=f(x)+f(x+2), f(x+2)=f(x+1)+f(x+3), 由得，f(x)=-f(x+3), 则f(x+3)=-f(x+6)， 所以f(x+6)=f(x),即f(x)是以6为周期的函数， 由f(x)=-f(x+3)可得 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 又2 009=6334+5,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(3)=2 009.,2 009,三、解答题 11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有 (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论; (2)若对任意实数x,不等式f(ax2+ax+1)f(2x