学案3空间点、平面、直线之间的位置关系.ppt

空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明.,1.三个公理 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 ,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.,两点,过不在一条直线上的三点,公理3 如果两个不重合的平面 ，那么它们有且只有 . 2.符号语言与数学语言的关系,有一个公共点,一条过该点的公共直线,=a,Aa,Aa,a,ab=A,3.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 (1)相交直线: ; (2)平行直线: ; (3)异面直线: . 4.判定异面直线的方法 (1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平 面内不经过该点的直线是异面直线.,在同一平面内，有且只有一个公共点,在同一平面内，没有公共点,不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点,(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. 5.公理4 空间平行线的传递性. 6.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .,平行于同一条直线的两条直线互相平行,相等或互补,7.异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线aa,bb，把直线a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 8、空间直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： ； （2）直线与平面相交： ； （3）直线与平面平行： ，,锐角(或直角),有无数个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点,直线与平面相交或平行的情况统称 . 9、平面与平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种： （1）两个平面平行： ； （2）两个平面相交： .,有一条公共直线,直线在平面外,没有公共点,在正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.,考点1 点共线问题,【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.,【证明】如图,A1AC1C, A1A,C1C确定平面A1C. A1C平面A1C,OA1C, O平面A1C,而O=平面BDC1线A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1与平面A1C的交线上. ACBD=M,M平面BDC1且M平面A1C,平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三点共线.,【评析】证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.,如图所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延长线分别交平面于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线.,证明:设ABC所在平面为,因为AP=P,AP,所以与相交于过点P的直线l,即Pl.因为BQ=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可证Rl.所以P,Q,R三点共线.,【分析】(1)只需证BC GH. (2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EFCH即得.,考点2 共面问题,如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G,H分别为FA，FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,【解析】如图，(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得 GH AD.又BC AD,EH BC, 四边形BCHG为平行四边形. (2)C,D,F,E四点共面,证明如下: 由BE AF,G为FA中点知, BE FG,四边形BEFG为平行四边形, EFBG. 由(1)知BGCH,EFCH,EF与CH共面. 又DFH,C,D,F,E四点共面.,【评析】证明点线共面的常用方法： (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面,重合.,如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证： （1）E，F，G，H 四点共面； （2）三直线FH，EG， AC共点.,（1）连接EF，GH. 由E,F分别为AB,AD中点， EF BD,由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且EFHG. EF,HG可确定平面, E,F,G,H四点共面.,（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG. 四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O， 点O直线FH，直线FH 面ACD， 点O平面ACD.同理点O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，点O直线AC（公理2）. 三直线FH，EG，AC共点.,【分析】 先由公理1判定FG平面ABCD,再由平行公理证明线线平行.,考点3 空间中两直线位置关系的判定与证明,如图所示，在正方体AC1中,E是CD的中点,连结AE并延长与BC的延长线交于点F,连结BE并延长交AD的延长线于点G,连结FG. 求证:直线FG平面ABCD且直线FG直线A1B1.,【证明】由已知得E是CD的中点,在正方体中,有A面ABCD,E面ABCD, 所以AE面ABCD.又AEBC=F, 所以FAE,从而F面ABCD. 同理,G面ABCD,所以FG面ABCD. 因为EC AB,故在RtFBA中,CF=BC, 同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC AD,所以CF DG. 所以四边形CFGD是平行四边形. 所以FGCD.又CDAB,ABA1B1, 所以直线FG直线A1B1.,【评析】判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几何知识相结合,解答一些常规题目.,已知E和F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.,【证明】如图所示,在DD1上取一点G,使D1G=A1E,则易知 A1E D1G, 四边形A1EGD1为平行四边形, EG A1D1, 四边形A1EGD1为平行四边形， EG A1D1.,又A1D1 B1C1,B1C1 BC, EG BC(公理4）， 四边形GEBC是平行四边形， EB GC.又D1G FC, 四边形D1GCF是平行四边形， GC D1F,EB D1F(公理4）， 四边形EBFD1是平行四边形.,1.平面的基本性质(三个公理及公理3的三个推论)是空间元素各种位置关系判断、论证的基础，其中确定平面的公理和推论将是立体几何问题转化为平面几何问题的依据. 公理1的用途：证明点在平面内；证明直线在平面内. 公理2的用途：确定一个平面的条件；证明有关的点、线、面共面问题. 公理3的用途：确定两个平面的交点；证明三点共线或三线共点.,2.图形对于分析空间元素的位置关系，展开想象，探索解题思路至关重要，因此复习时应重视两个问题：一是画图与识图，即能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图，能正确分析图形基本元素间的位置关系.二是借助图形思考，即能利用图形寻找解题思路、检验结果和数形结合等. 3.并非所有的平面几何结论都可以推广到空间，必须在证明所研究的图形是平面图形之后，才能引用平面几何的结论.,（1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理2证明这些点都在这两个平面的交线上.