2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第十单元第二节 空间几何体的表面积与体积.ppt

第二节 空间几何体的表面积与体积,基础梳理,1. 直棱柱、正棱锥、正棱台的概念、侧面展开图及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 .,平面展开图,直棱柱,直棱柱,ch,正棱锥,正棱台,2. 旋转体的表面积公式 (1)圆柱的表面积s= (其中r为底面半径,l为母线长). (2)圆锥的表面积s= (其中r为底面半径,l为母线长). (3)圆台的表面积公式s= (其中r,r为上、下底面半径,l为母线长). (4)球的表面积公式s= (其中r为球半径).,3. 几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式v= (其中s为底面面积,h为高). (2)锥体的体积公式v= (其中s为底面面积,h为高). (3)台体的体积公式v= (其中s,s为上、下底面面积,h为高). (4)球的体积公式v= (其中r为球半径).,2r(r+l),r(r+l),(r+r)l+(r2+r2),4r2,sh,典例分析,【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.,题型一 几何体的表面积问题,分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素.,解 如图所示,正三棱台abc-a1b1c1中,o、o1分别为两底面中心,d、d1分别为bc和b1c1的中点,则dd1为棱台的斜高. 设a1b1=20,ab=30,则可得 od= ,o1d1= .,由s侧=s上+s下,得 (20+30)3dd1= (202+302), dd1= . 在直角梯形o1odd1中,o1o= , 棱台的高为 cm.,学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.,举一反三 1. 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和.,解析： 如图,延长圆台母线交于点s，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则aso=30. 在rtsao中, ,sa=2r. 在rtsao中, ,sa=4r. sa-sa=aa,即4r-2r=2a,r=a. 圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为,【例2】 直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为q1、q2,求它的侧面积.,分析 要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可.,学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少运算量，简化运算过程.,举一反三 2. 三棱柱 的底面是等腰三角形(ab=ac),bac=2,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心o,下底面abc外接圆半径为r,侧棱 和ab成2角,求三棱柱的侧面积.,解析： 如图所示,作odab于d,则ad=rcos ,ab=2rcos , ab, aobc,由三垂线定理得 bc, 故 bc. 又bc=2rsin 2, ,【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm， 8 cm，各侧棱长均为8 cm，求它的侧面积和体积.,题型二 几何体的体积问题,分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求解.,解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点p, 则pbc为等腰三角形.取bc中点e,连接pe交 b1c1于点e1,则pebc,e1e为侧面等腰梯形的高. 作po底面abcd交上底面于点o1,连接o1e1、oe. 在pb1c1和pbc中, ,pb1=b1b=8,b1为pb的中点,e1为pe的中点. 在rtpeb中, pe= (cm), e1e= (cm). 在rtpoe中,po= oo1= po= (cm). s四棱台侧=4s梯形bcc1b1= , v四棱台=v四棱锥pabcd - v四棱锥pa1b1c1d1 = s四边形abcdpo - s四边形a1b1c1d1po1 = 82414- 42214 = (cm3).,学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的桥梁. （2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.,举一反三 3. 如图,在多面体abcdef中,已知四边形abcd是边长为1的正方形,四边形abfe为等腰梯形,且ade、bcf均为正三角形,ef=2,则该多面体的体积为.,答案：,解析： 如图,分别过a、b作ef的垂线,垂足分别为g、h, 连接dg、ch.易求得eg=hf= , ag=gd=bh=hc= . 可得 ,题型三 组合体的体积和表面积问题 【例4】(14分)如图，正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切.求棱锥的表面积和球的半径.,分析 先画截面图再求解.,解 过pa与球心o作截面pae与平面pcb交于pe，与平面abc交于ae2 因为abc是正三角形，易知ae既是abc中bc边上的高，又是bc边上的中线.作为正三棱锥的高pd既通过球心o,且d也是abc的重心4,据此根据底面边长为 ，即可算出 ,6 ,8 又f为球与平面pbc的切点, ofpe.设of=r,10 由pofped,知 , 12 .14,学后反思 （1）球与多面体、旋转体的相接、相切问题简称为组合体问题，这类问题能够很好地考查学生对空间图形的识图、辨别能力，更能考查学生的空间想象能力，所以在高考中一直是热点题型.复习中要注意总结规律，掌握常见问题的求解方法. (2)相切或相接问题一般通过作出截面，使构成组合体的各个简单体中的主要元素尽可能集中在该截面中，从而转化成平面图形的计算加以解决.旋转体之间的相接、相切问题，通常作出它们的共轴的截面;旋转体与多面体之间的相接、相切问题，一般作出它们接、切的某个公共点与轴所确定的截面.,举一反三 4. 将一个棱长为6 cm的正方体加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为 .,答案: 36,解析： 易知正方体的内切球体积最大，设其内切球的半径为r，则根据题意知2r=6，即r=3,故其内切球的体积,考点演练,10. （2010苏州质检）半径为r的半圆卷成一个圆锥，求它的体积.,解析: 设所求圆锥底面半径为r，高为h，则r=2r, , 故所求圆锥的体积为,11. 一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积和体积.,解析： 如图，过s作so平面abc，垂足为o，过s作sdab交ab于d，连接od，则so=a，odab，且o是abc的中心. 又ab=bc=ac=a,od= , ,12. 在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60，求这个平行六面体的体积.,解析: 如图所示，作 平面abcd， 在底面上的射影o落在bad的角平分线上. 因此有 即 , 不妨设 a=a,ab=b,ad=c, ,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 , (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数a为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c为常数); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点p（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点p（2，4）的切线方程.,分析 (1)点p处的切线以点p为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点p（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点p（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点p（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点p（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则. 解得 ,即点p(1,0), 点p到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点p（0,0）,求过点p(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过p点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q，当点q趋近于点p时，割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线，因此过点p的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线pq的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点p的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 p(2,0),且在点p处有相