云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何(4)

61. 在正方体ABCD-ABCD中,与棱AA异面的直线共有几条（ ）A.4 B.6C.8 D.10解析：A62.在正方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）A.48对 B.24对C.12对 D.6对解析：B棱AA有4条与之异面,所以,所有棱能组成412=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63. 正方体ABCD-ABCD中,异面直线CD和BC所成的角的度数是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为6064.异面直线a、b，ab，c与a成30角，则c与b成角的范围是 （ ）A. B. C. D. 解A直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是6065.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，连接CM,MD可得MNCD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN所以在RTBMN中，MN求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF3，则AD,BC所成的角为（ ）A.30 B.60C.90 D.120解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67. 直线a是平面的斜线，b在平内，已知a与b成60的角，且b与a在平内的射影成45角时，a与所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解A68. m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，与交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 设m/n,由于m在外，n在内， m/ 而过m与交于l m/l，这与已知矛盾， m不平行n. 设mn，在内作直线l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交（若a/n 则nl，与已知矛盾） m, ml与已知矛盾， m和n不能垂直. 综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.解析：过E作EHBC，垂足为H. 过H作HGBC1，垂足为G.连EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC= 在RtBHG中：sinC1BC= HG=（设底面边长为1）. 而EH=1， 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为 解析：设AC、BD交于O点，则BOAC 且DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长已知，所以可求出BOD： 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是DOB中，OB边上的高DE，理由是： DEOB DE面ABC. 由cosDOB=，知sinDOE= DE= 应选（B）71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于 解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力. 如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径. 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以AOB=2=，同理AOC=，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 在ABC中，由于AB2+AC2=BC2. BAC=90,BC是小圆ABC的直径. |ED|= 从而|OD|=. 故应选B.72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA底面ABCD，该图中，互相垂直的面有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对答案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于_ 解析：90连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，ABCN，ABDN.74. 已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证MN面PCD.(12分)解析：75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如图：（1）证明：PQ平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长。（12分）评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。76. 如图，已知求证al解析：77. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）解析：78. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD（14分）解析：79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（nm）的线段PQ的两个