例题与探究（5.2.2复数的乘法与除法）

高手支招3综合探究 进行复数的除法运算的步骤 利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的复数 x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)(c+di)或,从而利用复数相等求得x,y的值即可.(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解这个方程组得于是有(a+bi)(c+di)=.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析【例1】已知=1-ni,其中m、n是实数,i是虚数单位,则m+ni=（ ）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用复数相等解之.本题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.将=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由复数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.答案:C【例2】复数=( )A.i B.-I C.2-I D.-2+i思路分析:此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.答案:A【例3】 若复数z=+i,则1+z+z2+z3+z2 006( )A.0 B.+i C.-i D.-i思路分析:由于z=+i正好是的一个值,故具有特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化简.1+z+z2+z3+z2 006中连续三项的和均为零,由于1+z+z2+z3+z2 006的项数2 007项正好是3的倍数项,故所求的和式为零.答案:A【例4】 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一个复数为实数,那只需要一个条件:虚部为0.将原式(m2+i)(1+mi)展开,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虚部为零,即m3+1=0,即m=-1.答案:B【例5】若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于( )A.-2 B. C. D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依题意2-b=0b=2.答案:D【例6】设a是实数,且是实数,则a等于A. B.1 C. D.2思路分析:先化简,因为是实数，故其虚部为零，即=0，从而得a=1.答案:B【例7】设复数z满足=i,则z等于 ( )A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i思路分析:由=i，得z=2-i.答案:C【例8】设x、y为实数,且,则x+y=_.思路分析:先将原式两边的分母实数化,然后再利用复数相等即可求得x+y的值.将原式分母实数化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得x+y=4.答案：4【例9】 计算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1i)2=2i及i4n+k=ik将高次冥化为低次冥.(2)利用的性质解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4501+2+2(1+i)24-25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;(2)=+i,-i=-,(-i)6=(-)6=(3)2=1.【例10】 已知复数z=,若z2+az+b=1+i,试求实数a、b的值.思路分析:要求实数a、b的值,需先确定复数z的值,而要确定复数z,需对复数z进行化简,主要通过复数乘方,加减运算,最后通过分母实数化,从而化得结果.解:z=1+i,z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z2+az+b=1+i,实数a、b的值分别为-1,2.【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再将-z代入f(z)=2z+-3i中计算.解:f(z)=2z+-3i,f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i,又知f(+i)=6-3i,2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,设z=a+bi,则=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,z=2+i,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 计算:(i)12+()8.思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)(+i)，由此,原式可以化简.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。解:原式=i12(+i)12+=11+=1+16(+i)=-7+8i.【例13】 已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.思路分析:(1)求模应求出复数的实部与虚部，再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z1=i(1-i)3i(-2i)(1-i)=2(1-i),|z1|.(2)|z|=1可看成半径为1、圆心为(,)的圆,而点Z1可看成在坐标系中的点(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由右图可知|z-z1|max=2+1.【例14】 证明:在复数范围内,方程|z|2+（1-i）-（1+i）z=(i为虚数单位)无解.思路分析:将已知条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x、yR）,代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.=-160,方程f(x)无实数解,原方程在复数范围内无解.“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。高手支招5思考发现1.利用某些特殊复数的运算结果,如(1i)2=2i,(i)3=1,=-i,=i,=-i,i的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记,以便加快解题速度.2.在化简运算中,要注意运用i、的性质,如当=+i时有:单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。=2，3=1，=，n+n+1+n+2=0(nN*),in+in+1+in+2+in+3=0(nN*一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”