【数学】2011年高考二轮考点专题突破检测：三角函数与平面向量专题 数列专题 数学思想方法专题 （含详细答案） .doc

专题达标检测一、选择题1点p是函数f(x)cos x(其中0)的图象c的一个对称中心，若点p到图象c的对称轴的距离最小值是，则函数f(x)的最小正周期是 ()a b2 c3 d4解析：函数f(x)的对称中心是，对称轴为x，kz，即|，t4，故选d.答案：d2定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6则|ab|等于 ()a8 b8 c8或8 d6解析：ab|a|b|cos cos sin ，|ab|a|b|sin 258.答案：a3函数y2sin，x0，的增区间是 ()a. b.c. d.解析：y2sin2sin，由2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)，故函数y2sin，x0，的增区间是，故选c.答案：c4(2010全国)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin的图象()a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位解析：ysinsin，ysinsin，故应向右平移个长度单位答案：b5(2010天津)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c若a2b2bc，sin c2sin b，则a ()a30 b60 c120 d150解析：sin c 2sin bc2b，a2b2bca2b2c2bcc2b2c2a2c2bc，cos a，在abc中，a30.答案：a6(2009浙江理)已知a是实数，则函数f(x)1asin ax的图象不可能是 ()解析：图a中函数的最大值小于2，故0a1，而其周期大于2，故a中图象可以是函数f(x)的图象，图b中，函数的最大值大于2故a应大于1，其周期小于2，故b中图象可以是函数f(x)的图象，当a0时，f(x)1，此时对应c中图象，对于d可以看出其最大值大于2，其周期应小于2，而图象中的周期大于2，故d中图象不可能为函数f(x)的图象答案：d二、填空题7已知函数f(x)2sin x，g(x)2sin，直线xm与f(x)，g(x)的图象分别交m、n两点，则|mn|的最大值为_解析：构造函数2sin x2cos x2sin，故最大值为2.答案：28曲线y2sincos与直线y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为p1，p2，p3，则|p2p4|等于 ()a b2 c3 d4解析：y2sincos2sincos2sin21cos1sin 2x，|p2p4|恰为一个周期的长度.答案：10有下列命题：函数y4cos 2x，x不是周期函数；函数y4cos 2x的图象可由y4sin 2x的图象向右平移个单位得到；函数y4cos(2x)的图象关于点对称的一个必要不充分条件是(kz)；函数y的最小值为24其中正确命题的序号是_解析：中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数；因为中函数y4sin 2x的图象向右平移个单位得到y4sin 2，即y4cos 2x的图象，不是y4cos 2x的图象；把点代入函数y4cos(2x)，有4cos0，则k(kz)，所以k(kz)，又|k(kz)，所以正确；函数y(2sin x)4，如果它的最小值为2 4，那么(2sin x)210，而(2sin x)2的最大值为11，故不正确答案：三、解答题11(2010天津)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xr)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解：(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x) 2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0从而cos .所以cos 2x0coscoscossinsin.12(2010福建)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10，此时v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0ac.且对于线段ac上任意点p，有opocac.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在a、c之间(包含c)的任意位置相遇设cod(090)，则在rtcod中，cd10tan ，od.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan 取得最小值，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在b处相遇依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000. 若0v30，则由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0得v15.从而，t，v15，30()当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0即v15时等号成立()当t时，同理可得.若v30，则t；综合、可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在oab中，oaobab20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇13向量m(sin xcos x，cos x)(0)，n(cos xsin x,2sin x)，函数f(x)mnt，若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x0，时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在abc中，若f(c)1，且2sin2bcos bcos(ac)，求sin a的值解：(1)f(x)mmtcos2xsin2x2cos xsin xtcos 2xsin 2xt2sin(2x)t.依题意f(x)的周期t3，且0，t3.，f(x)2sint.x0，sin1，f(x)的最小值为t1，即t10，t1.f(x)2sin1.(2)f(c)2sin11，sin1.又c(0，)，c.在rtabc中，ab，2sin2bcos bcos(ac)，2cos2asin asin a，sin2asin a10.解得sin a.又0sin a1，sin a. 专题达标检测一、选择题1在等差数列an中，若a22a6a10120，则a3a9等于 ()a30 b40 c60 d80解析：由等差数列性质：若mnpq，则amanapaq，故a22a6a104a6120，故a630，a3a92a623060.答案：c2(2009宁夏、海南理)等比数列an的前n项和为sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a11，则s4等于 ()a7 b8 c15 d16解析：设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列得4a24a1a3.4a1q4a1a1q2.q24q40q2，s415.答案：c3等比数列an中，a1512，公比q，用n表示它的前n项之积：na1a2an，则n中最大的是 ()a11 b10 c9 d8解析：na1a2anaq12n129n(1)2，当n9时，n最大故选c答案：c4设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列(nn*)的前n项和是()a. b. c. d.解析：f(x)mxm1a2x1，m2，a1，f(x)x2xx(x1)，sn11.答案：a5如果数列an满足a12，a21，且(n2，nn*)，则这个数列的第10项等于 ()a. b. c. d.解析：11，2，是首项为，公差为的等差数列，n，a10，故选d.答案：d6数列an中，a11，an、an1是方程x2(2n1)x0的两个根，则数列bn的前n项和sn ()a. b. c. d.解析：由题意得anan12n1，又annan1(n1)，a11ann，又anan1，bn.snb1b2bn1.答案：d二、填空题7数列an的构成法则如下：a11，如果an2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式an1an2，否则用递推公式an13an，则a6_.解析：a121n，a23a13.a221a1，a33a29，a327，a47，a425，a55，a523a2，a63a515.答案：158已知数列an满足(nn*)，且a11，则an_.解析：由已知得，a11，左右两边分别相乘得an1.答案： 9如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_解析：设第n(n2)行的第2个数构成数列an，则有a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，相加得ana223(n1)(n2)，an2.答案：10对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是_解析：yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn)f(2)n2n12n(n2)2n1.函数在点x2处点的纵坐标为y2n.切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，与y轴交点纵坐标为y(n1)2nan2n，数列成等比数列，首项为2，公比为2，前n项和为2(2n1)2n12.答案：2n12三、解答题11等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为sn，bn为等比数列， b11，且b2s264，b3s3960.(1)求an与bn；(2)求的值解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有，解得 或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)由(1)知sn35(2n1)n(n2)，所以.12已知数列an满足a12，an122an.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an2bnc)2n，试推断是否存在常数a、b、c，使得对一切nn*，anbn1bn恒成立？若存在，求出a、b、c的值；若不存在，说明理由；(3)求证：i(n22n2)2n2.(1)解：由已知得2，是公比为2的等比数列，且首项为2，22n1，an2nn2(2)解：bn(an2bnc)2n，bn1bna(n1)2b(n1)c2n1(an2bnc)2nan2(4ab)n2a2bc2n.若anbn1bn恒成立，则an2(4ab)n2a2bcn2恒成立，解得a1，b4，c6，故存在常数a1，b4，c6满足条件(3)证明：由(2)得，bn(n24n6)2n，i(b2b1)(b3b2)(b4b3)(bn1bn)bn1b1(n1)24(n1)62n16(n22n3)2n162y3x，那么 ()axy0cxy0解析：设f(x)2x3x.因为2x，3x均为r上的增函数，所以f(x)2x3x是r上的增函数又由2x3x2y3y2y3(y)，即f(x)f(y)，xy，即xy0.选b.答案：b2设函数f(x)x3sin x，若0时，f(mcos )f(1m)0恒成立，则实数m的取值范围是 ()a(0,1) b(，0)c(，1) d.解析：易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcos )f(1m)0，即f(mcos )f(m1)，mcos m1，而0时，cos 0,1，得m1.答案：c3方程x2xm0在x1,1上有实根，则m的取值范围是 ()am bmcm dm解析：mx2x2，又当x时，m最小为，m.答案：d4已知函数f(x)32|x|，g(x)x22x，构造函数f(x)，定义如下：当f(x)g(x)时，f(x)g(x)；当f(x)g(x)时，f(x)f(x)那么f(x) ()a有最大值3，最小值1b有最大值72，无最小值c有最大值3，无最小值d无最大值，也无最小值解析：画图得到f(x)的图象：为射线ac、抛物线弧ab及射线bd三段，联立方程组得xa2，代入得f(x)最大值为72，由图可得f(x)无最小值，从而选b.答案：b5已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，以下四个图象中，yf(x)的大致图象是 ()解析：函数yxf(x)是yf(x)与yx的复合函数，当y0且xr时，必有f(x)0.因而其图象与x轴交点即为f(x)0两根由图象提供的信息，函数yf(x)在x1和x1处取得极值观察图象，只有c项合适答案：c6当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的范围是 ()a(0,1) b(1,2) c(1,2 d.解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，11且nn*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nn*)的表达式为_解析：由f1(x)f(x)和fn(x)fn1fn1(x)(n1且nn*)，得f2(x)f1f1(x)，f3(x)f2f2(x)，由此猜想fn(x)(nn*)答案：8若方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)只有一个根，则a的取值范围是_解析：原方程等价于即，构造函数yx25x3(1x3)和ya，作出它们的图象，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况为：当1a3或a时，原方程有一解；当3a时，原方程无解因此，a的取值范围是1a3或a.答案：1a3或a9若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是_解析：y2，其图象如图所示，对直线ykxb，k0时，直线与曲线一定相交，只有当k0，且1b1时无交点故填k0；1b1.答案：k0，1b4xp3对一切0p4均成立，则实数x的取值范围为_解析：x2px4xp3，(x1)px24x30.令g(p)(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要，x3或x3或x1时，a(1a)f(x)1，2f(x)2，只要a(1a)2，解得a43.10)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解：(1)由题意知f(1)3c， 因此bc3c，从而b3.又对f(x)求导得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，此时f(x)为增函数因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1，)(3)由(2)知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2.即2c2c30，从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.所以c的取值范围为(，1.13已知函数f(x)x28x，g(x)6ln xm.(1)求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)f(x)x28x(x4)216.当t14，即t4时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6ln xm，(x)2x8(x0)当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln 315.当x充分接近0时，(x)0要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7mpcbpapbhb1且abhd1且absa，即aa，habab，1且abh.答案：b5在正三棱锥sabc中，m、n分别是棱sc、bc的中点，且mnam，若侧棱sa2，则正棱锥sabc外接球的表面积是 ()a12 b32c36 d48解析：由于mnam，mnbs，则bsam，又根据正三棱锥的性质知bsac，则bs平面sac，于是有asbbsccsa90，sa、sb、sc为三棱锥sabc外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为r，则4r23sa236，球表面积为4r236.答案：c6(2010北京)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，动点e，f在棱a1b1上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef1，a1ex，dqy，dpz(x，y，z大于零)，则四面体pefq的体积 ()a与x，y，z都有关b与x有关，与y，z无关c与y有关，与x，z无关d与z有关，与x，y无关解析：连结eq、fq、a1d，作pna1d，垂足为n.a1b1dc且ef1，sefq是定值a1b1面add1a1且pn面add1a1，a1b1pn，pn面a1b1cd.pdz，a1da45，pnz，vpefqsefqpn与x，y无关，与z有关，故选d.答案：d二、填空题7(2010湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h_cm.解析：直观图如图，则三棱锥中adab，adac，abac，体积vabach20，h4.答案：48如图所示，在正方体，abcda1b1c1d1中，m、n分别为a1b1，cc1的中点，p为ad上一动点，记为异面直线pm与d1n所成的角，则的取值集合为_答案：9已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积v_.解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是，故该凸多面体的体积为1.答案：110(2010四川)如图，二面角l的大小是60，线段ab，bl，ab与l所成的角为30，则ab与平面所成的角的正弦值是_解析：过a作ac平面于c，c为垂足，连结cb，过c作cdl于d，连结ad，则adl，adc为二面角l的平面角，即adc60.ac，abc为直线ab与平面所成角设ab1，则ad，ac，sin abc.答案：三、解答题11(2010江苏无锡)如图，在三棱柱abca1b1c1中，abbc，bcbc1，abbc1，e、f、g分别为线段ac1、a1c1、bb1的中点，求证：(1)平面abc平面abc1；(2)ef平面bcc1b1；(3)gf平面ab1c1.证明：(1)bcab，bcbc1，abbc1b，bc平面abc1.bc平面abc，平面abc平面abc1.(2)aeec1，a1ffc1，efaa1.bb1aa1，efbb1.ef平面bcc1b1，ef平面bcc1b1.(3)连结eb，则四边形efgb为平行四边形ebac1，fgac1. bc面abc1，b1c1面abc1，b1c1be，fgb1c1.b1c1ac1c1，gf平面ab1c1.12已知侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，且dab60，adaa1，f为棱bb1的中点，点m为线段ac1的中点(1)求证：直线mf平面abcd；(2)求证：平面afc1平面acc1a1；(3)求平面afc1与平面abcd所成的锐二面角的大小(1)证明：延长c1f交cb的延长线于点n，连结an.因为f是bb1的中点，所以f为c1n的中点，b为cn的中点又m是线段ac1的中点，故mfan.又mf平面abcd，an平面abcd，mf平面abcd.(2)证明：(如上图)连结bd，由直四棱柱abcda1b1c1d1，可知：a1a平面abcd，又bd平面abcd，a1abd.四边形abcd为菱形，acbd.又aca1aa，ac、a1a平面acc1a1，bd平面acc1a1.在四边形danb中，dabn且dabn，所以四边形danb为平行四边形故nabd，na平面acc1a1.又na平面afc1平面afc1平面acc1a1(3)解：由(2)知bd平面acc1a1，又ac1平面acc1a1，bdac1，bdna，ac1na.又因bdac可知naac，c1ac就是平面afc1与平面abcd所成锐二面角的平面角在rtc1ac中，tanc1ac，故c1ac30.平面afc1与平面abcd所成锐二面角的大小为30.13(2010湖北，18)如图，在四面体aboc中，ocoa，ocob，aob120，且oaoboc1.(1)设p为ac的中点证明：在ab上存在一点q，使pqoa，并计算的值；(2)求二面角oacb的平面角的余弦值解：解法一：(1)在平面oab内作onoa交ab于n，连结nc.又oaoc，oa平面onc.nc平面onc，oanc.取q为an的中点，则pqnc，pqoa.在等腰aob中，aob120，oaboba30.在rtaon中，oan30，onanaq.在onb中，nob1209030nbo，nbonaq，3.(2)连结pn，po.由ocoa，ocob知oc平面oab.又on平面oab，ocon.又由onoa知on平面aoc.op是np在平面aoc内的射影在等腰rtcoa中，p为ac的中点，acop.根据三垂线定理，知acnp.opn为二面角oacb的平面角在等腰rtcoa中，ocoa1，op.在rtaon中，onoatan 30，在rtpon中，pn，cos opn.解法二：(1)取o为坐标原点，分别以oa，oc所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz(如图所示)则a(1,0,0)，c(0,0,1)，b.p为ac中点，p.设(0,1)，(1,0,0)，.pqoa，0，即0，.所以存在点q使得pqoa且3.（2）记平面abc的法向量为n=（n1，n2，n3），则由n，n，且(1,0，1)，得故可取n(1，1)又平面oac的法向量为e(0,1,0)cosn，e.二面角oacb的平面角是锐角，记为，则cos . 专题达标检测一、选择题1点p是函数f(x)cos x(其中0)的图象c的一个对称中心，若点p到图象c的对称轴的距离最小值是，则函数f(x)的最小正周期是 ()a b2 c3 d4解析：函数f(x)的对称中心是，对称轴为x，kz，即|，t4，故选d.答案：d2定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6则|ab|等于 ()a8 b8 c8或8 d6解析：ab|a|b|cos cos sin ，|ab|a|b|sin 258.答案：a3函数y2sin，x0，的增区间是 ()a. b.c. d.解析：y2sin2sin，由2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)，故函数y2sin，x0，的增区间是，故选c.答案：c4(2010全国)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin的图象()a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位解析：ysinsin，ysinsin，故应向右平移个长度单位答案：b5(2010天津)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c若a2b2bc，sin c2sin b，则a ()a30 b60 c120 d150解析：sin c 2sin bc2b，a2b2bca2b2c2bcc2b2c2a2c2bc，cos a，在abc中，a30.答案：a6(2009浙江理)已知a是实数，则函数f(x)1asin ax的图象不可能是 ()解析：图a中函数的最大值小于2，故0a1，而其周期大于2，故a中图象可以是函数f(x)的图象，图b中，函数的最大值大于2故a应大于1，其周期小于2，故b中图象可以是函数f(x)的图象，当a0时，f(x)1，此时对应c中图象，对于d可以看出其最大值大于2，其周期应小于2，而图象中的周期大于2，故d中图象不可能为函数f(x)的图象答案：d二、填空题7已知函数f(x)2sin x，g(x)2sin，直线xm与f(x)，g(x)的图象分别交m、n两点，则|mn|的最大值为_解析：构造函数2sin x2cos x2sin，故最大值为2.答案：28曲线y2sincos与直线y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为p1，p2，p3，则|p2p4|等于 ()a b2 c3 d4解析：y2sincos2sincos2sin21cos1sin 2x，|p2p4|恰为一个周期的长度.答案：10有下列命题：函数y4cos 2x，x不是周期函数；函数y4cos 2x的图象可由y4sin 2x的图象向右平移个单位得到；函数y4cos(2x)的图象关于点对称的一个必要不充分条件是(kz)；函数y的最小值为24其中正确命题的序号是_解析：中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数