【高考辅导资料】2009年高考试题——数学文(安徽卷)解析版

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面 规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号。 3答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。在试题卷、 草稿纸上答题无效。 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 S 表示底面积，h 表示底面上的高 棱柱体积 V=Sh 棱锥体积 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 5050 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位，i(1+i)等于 A1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i 【解析】依据虚数运算公式可知可得，选 D. 2 1i (1)1iii 【答案】D 2. 若集合，则是 A1，2，3 B. 1，2 C. 4，5 D. 1，2，3，4，5 【解析】解不等式得 1 |3 2 Axx 1 |5Bx xNx ,选 B。 1,2AB 【答案】B 3.不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D. 【解析】由可得，故 阴阴 = ，选 C。 340 340 xy xy (1,1)CS 14 23 c ABx 【答案】C 4.“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】易得时必有.若时，则可能有，选abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 A。 【答案】A 5.已知为等差数列，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】即同理可得公差 135 105aaa 3 3105a 3 35a 4 33a 43 2daa .选 B。 204 (204)1aad 【答案】B 6.下列曲线中离心率为的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 【解析】依据双曲线的离心率可判断得选 B。 22 22 1 xy ab c e a 6 2 c e a 【答案】B 7. 直线 过点（-1，2）且与直线垂直，则 的方程是 A B. C. D. 【解析】可得 斜率为即，选 A。l 33 :2(1) 22 l yx 3210xy 【答案】A 8.设，函数的图像可能是 【解析】可得的两个零解. 2 ,() ()0xa xbyxaxb为 当时,则xa( )0xbf x 当时,则当时,则选 C。axb( )0,f x xb( )0.f x 【答案】C 9.设函数，其中，则导数的取值范 围是 A. B. C.D. 【解析】 2 1 (1)sin3cos x fxx sin3cos2sin() 3 ，选 D。 52 0,sin(),1(1)2,2 1232 f 【答案】D 10.考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三 角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 A.1 B. C. D. 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得 3 6 C 任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题 共共 100100 分）分） 考生注意事项：考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。分，把答案填在答题卡的相应位置。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_。 【解析】设由可得故(0, ,0)My 222 141 ( 3)1yy 1y (0, 1,0)M 【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12程序框图（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】根据流程图可得的取值依次为 1、3、7、15、31、63a 【答案】127 13从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是_。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5，故=0.75. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 4 33 4 P C 【答案】0.75 14在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或=+，其 中，R ，则+= _。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】设、则 , ,BCb BAa 1 2 AFba 1 2 AEba ACba 代入条件得 24 33 uu 【答案】4/3 15对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。 11 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线； 22 由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点； 33 若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合； 44 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； 55 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断正确,可举例说明错误. 【答案】 三解答题三解答题; ;本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 写在答题卡上的指定区域内。写在答题卡上的指定区域内。 16（本小题满分 12 分） 在ABC 中，C-A=， sinB=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求 sinA 的值； (II)设 AC=，求ABC 的面积。 【思路】 （1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；sin A （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.SA A 【解析】 （1） 2 cAcAB 且 且 42 B A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 sinsin()(cossin) 42222 BBB A 22 111 sin(cossin)(1sin) 22223 BB AB 又 sin0A 3 cos 3 A （2）如图，由正弦定理得 sinsin ACBC BC BA 3 6 sin 3 3 2 1 sin 3 ACA BC B sinsin()sincoscossin 32 216 3333 CABABAB 且 且 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 116 sin63 23 2 223 S ABCAC BCC A A 17（本小题满分 12 分） 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A，将其与原有的一个优良品种 B 进行对照 试验，两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 品种 A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414， 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454 品种 B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430 （）完成所附的茎叶图 （）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。 【思路】由统计知识可求出 A、B 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理 数据，看其分布就比较明了。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 （1）茎叶图如图所示 A AB B 9 735 8 7363 5371 4 8383 5 6 9 2391 2 4 457 7 5 0400 1 1 3 6 7 5 4 2410 2 5 6 7 3 3 1422 4 0 0430 5 5 344 4 145 （2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数 据. （3）通过观察茎叶图，可以发现品种 A 的平均每亩产量为 411.1 千克，品种 B 的平均亩产 量为 397.8 千克.由此可知,品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高.但品种 A 的亩产 量不够稳定，而品种 B 的亩产量比较集中 D 平均产量附近. 18（本小题满分 12 分） 已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的 圆与直线 y=x+2 相切， （）求 a 与 b；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与 x 轴垂直，动直线与 y 轴 垂直，交与点 p求线段 P垂直平分线与的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型。 【思路】 （1）由椭圆建立 a、b 等量关系，再根据直线 22 222 22 3 1 3 xyc abce aab 且 且且 且 与椭圆相切求出 a、b. （2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。 【解析】 （1）由于 又 3 3 e 222 2 22 1 3 cab e aa 2 2 2 3 b a 2 2 11 b b2=2,a2=3 因此，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 . b= 2a （2）由（1）知 F1，F2两点分别为（-1，0） ， （1,0） ，由题意可设 P（1，t）.（t0）.那么 线段 PF1中点为，设 M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于(0, ) 2 t N 则消去参数 t 得 1 (,) . ( 2,) 2 t MNxyPFt 1 2()0 2 t MN PFxt y yt 2 4 (0)yx x ,其轨迹为抛物线（除原点） 19（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和，数列的前 n 项和 （）求数列与的通项公式； （）设，证明：当且仅当 n3 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求 1 1 (1) (2) nn an a ssn nn ab且 且 出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 nn ab且 且 n c 【解析】(1)由于 11 4as 当时, 2n 22 1 (22 )2(1)2(1)4 nnn assnnnnn * 4 () m an nN 又当时xn 11 (26 )(2) nnnmm bTTb 1 2 nn bb 数列项与等比数列,其首项为 1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m n b 1 2 1 1 ( ) 2 n n b (2)由(1)知 221 11 1 16( ) 2 n n Cabn 2(1) 1 2 1 2 21 1 16(1)( ) (1) 2 1 2 16( ) 2 n n n n n Cn Cn n 由即即 2 1 (1) 11 2 n n Cn Cn 得 2 21012nnn 3n 又时成立,即由于恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3n 2 (1)2 1 2 n n 1 1 n n C C 0 n C 因此,当且仅当时, 3n 1nn CC 20（本小题满分 13 分） 如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同点， 且EA=ED，FB=FC， 和是平面 ABCD 内的两点，和 都与平面 ABCD 垂直， （）证明：直线垂直且平分线段 AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面 体 ABCDEF 的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分 与整体的基本思想。 【解析】(1)由于 EA=ED 且EDABCDE DE C面 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,直线 E F 垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF 两部分. 设 AD 中点为 M,在 RtMEE 中,由于 ME =1, .32MEEE ABCD E V 2 114 2 22 333 SABCD EE 四方形 又BCF=VCBEF=VCBEA=VEABC E V 2 1112 2 22 3323 ABC SEE A 多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDVEBCF=2 2 21（本小题满分 14 分） 已知函数，a0，w.w.w.k.s