【高考辅导资料】2009年高考数学试题分类汇编——函数

2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编函数函数 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)若函数( )yf x是函数1 x yaaa（0，且）的反函数，且(2)1f， 则( )f x Ax 2 log B x 2 1 Cx 2 1 log D2 2x 【答案】A 【解析】函数1 x yaaa（0，且）的反函数是( )logaf xx,又(2)1f,即log 21 a , 所以,2a ,故 2 ( )logf xx,选 A. 2.(2009 年广东卷文)函数 x exxf) 3()(的单调递增区间是 A. )2 ,( B.(0,3) C.(1,4) D. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令( )0fx,解得2x ,故选 D 3.（2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy，则 0000 ln1,()yxayx,又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 B 4.（2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( D ) (A) ( )f x是偶函数 (B) ( )f x是奇函数 (C) ( )(2)f xf x (D) (3)f x是奇函数 解: (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ， 函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4T 的周期函 数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函数。故选 D 5.（2009 浙江理）对于正实数，记M为满足下述条件的函数( )f x构成的集合： 12 ,x xR且 21 xx，有 212121 ()()()()xxf xf xxx下列结论中正确的是 ( ) A若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM B若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且( )0g x ，则 1 2 ( ) ( ) f x M g x C若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且 12 ，则 12 ( )( )f xg xM 答案：C 【解析】对于 212121 ()()()()xxf xf xxx，即有 21 21 ()()f xf x xx ，令 21 21 ()()f xf x k xx ，有k，不妨设 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，即有 11,f k 22g k，因此有 1212fg kk，因此有 12 ( )( )f xg xM 6.（2009 浙江文）若函数 2 ( )() a f xxa x R，则下列结论正确的是（ ） Aa R，( )f x在(0,)上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m Ba R，( )f x在(0,)上是减函数 Ca R，( )f x是偶函数 Da R，( )f x是奇函数 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问 【解析】对于0a 时有 2 f xx是一个偶函数 7.（2009 北京文）为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案答案】C .w【解析解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. Alg31lg103yxx ， Blg31lg103yxx ， C 3 lg31lg 10 x yx ， D 3 lg31lg 10 x yx . 故应选 C. 8.（2009 北京理）为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案答案】C 【解析解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m Alg31lg103yxx ， Blg31lg103yxx ， C 3 lg31lg 10 x yx ， D 3 lg31lg 10 x yx . 故应选 C. 9. (2009 山东卷理)函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 【解析】:函数有意义,需使0 xx ee,其定义域为0|xx,排除 C,D,又因为 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 A. 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 10.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0),1 (log2 xxfxf xx ，则 f（2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得 2 ( 1)log 21f ,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff , (2)(1)(0)1fff ,(3)(2)(1)1 ( 1)0fff , (4)(3)(2)0( 1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C. 答案:C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 11.(2009 山东卷文)函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 【解析】:函数有意义,需使0 xx ee,其定义域为0|xx,排除 C,D,又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 A. 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 12. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0),4(log2 xxfxf xx ，则 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O f（3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得 2 ( 1)log 5f , 2 (0)log 42f, 2 (1)(0)( 1)2log 5fff, 2 (2)(1)(0)log 5fff , 22 (3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff ,故选 B. 答案:B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 13.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上 是增函数,则( ). A.( 25)(11)(80)fff B. (80)(11)( 25)fff C. (11)(80)( 25)fff D. ( 25)(80)(11)fff 【解析】:因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由(4)( )f xf x 得 ) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以 0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 D. 答案:D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题. 14.（2009 全国卷文）函数 y=x(x0)的反函数是 （A） 2 yx（x0） （B） 2 yx （x0） （B） 2 yx（x0） （D） 2 yx （x0） 答案：答案：B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知可知 AC 错错,原函数原函数 y0 可知可知 D 错，错， 选选 B. 15.（2009 全国卷文）函数 y= 2 2 log 2 x y x 的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线yx 对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线yx对称 答案：答案：A 解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又）关于原点对称，又 f(-x)=- f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 A。 16.（2009 全国卷文）设 2 lg ,(lg ) ,lg,ae bece则 （A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 答案：答案：B 解析：本题考查对数函数的增减性，由解析：本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知知 ab,又又 c= 2 1 lge, 作商比较知作商比较知 cb,选选 B。 17.（2009 广东卷 理）若函数( )yf x是函数(0,1) x yaaa且的反函数，其图像 经过点(, )a a，则( )f x A. 2 log x B. 1 2 log x C. 1 2x D. 2 x 【解析】xxf a log)(，代入(, )a a，解得 2 1 a，所以( )f x 1 2 log x，选 B. 18.（2009 广东卷 理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线） 行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙 甲和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和， 下列判断中一定正确的是 A. 在 1 t时刻，甲车在乙车前面 B. 1 t时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 0 t时刻，两车的位置相同 D. 0 t时刻后，乙车在甲车前面 【解析】由图像可知，曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t、0 1 t与x轴所围成图形面积大，则在 0 t、 1 t时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 19.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析： / ()(32)yxaxab，由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x ，当xa时，y取极大 值 0，当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负。故选 C。 或当xb时0y ，当xb时，0y 选 C 20.（2009 安徽卷理）已知函数( )f x在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 （A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23yx 解析：由 2 ( )2 (2)88f xfxxx得 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx， 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx， 2 ( )f xx /( ) 2fxx，切线方程为 12(1)yx ，即210xy 选 A 21.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 C。 【答案】C 22.（2009 江西卷文）函数 2 34xx y x 的定义域为 A 4,1 B 4, 0) C(0,1 D 4, 0)(0,1 答案：D 【解析】由 2 0 340 x xx 得40x 或01x,故选 D. 23.（2009 江西卷文）已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0x ，都有 (2( )f xf x），且当0,2)x时， 2 ( )log (1f xx ），则( 2008)(2009)ff的值为 A2 B1 C1 D2 答案：C 【解析】 12 22 ( 2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff,故选 C. 24.（2009 江西卷文）如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变， 其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象大致为 y xO ( , )P x y ( ,0)Q x A B C D 答案：B 【解析】由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正 到 0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接近 0，故D错误；质点( , )P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因 此C是错误的，故选B. 25.（2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切，则 a等于 A1或 25 - 64 B1或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或7 答案：A 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x，所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx，又(1,0)在切线上，则 0 0x 或 0 3 2 x ， 当 0 0x 时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a ，所以选A. 26.（2009 江西卷理）函数 2 ln(1) 34 x y xx 的定义域为 A( 4,1) B( 4,1) C( 1,1) D( 1,1 答案：C 【解析】由 2 101 11 41340 xx x xxx .故选 C 27.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )( )f xg xx，曲线( )yg x在点(1, (1)g处的切线方程为 O ( )V t tO ( )V t t O ( )V t t O ( )V t t 21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为 A4 B 1 4 C2 D 1 2 答案：A 【解析】由已知(1)2 g ，而( )( )2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg 故选 A 28.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )(0)f xaxbxc a的定义域为D，若所有点 ( ,( )( ,)s f ts tD构成一个正方形区域，则a的值为 A2 B4 C8 D不能确定w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B 【解析】 12max |( )xxfx， 22 2 44 4 bacacb aa ，| 2aa，4a ，选 B 29.（2009 天津卷文）设 3 . 0 2 1 3 1 ) 2 1 (, 3log, 2logcba，则 A a21 ,得 (3)( 2)(1)fff,故选 A. 48.（2009 陕西卷文）设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 n x,则 12n xxx的值为 (A) 1 n (B) 1 1n (C) 1 n n (D) 1 答案:B 解析: 对 1* ()(1) nn yxnNynx 求导得,令1x 得在点（1，1）处的切线的斜率 1kn,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 B. 49.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数( )f x满足：对任意 的 1212 ,(,0()x xxx ，有 2121 ()( ()()0xxf xf x. 则当 * nN时,有 (A)()(1)(1)fnf nf n (B) (1)()(1)f nfnf n (C) (C)(1)()(1)f nfnf n (D) (1)(1)()f nf nfn 答案：C 12122121 2121 ,(,0()()( ()()0 ()()( )(,0 ( )( )(0 (1)( )(1)(1)()(1) x xxxxxf xf x xxf xf xf x f xf x f nf nf nf nfnf n 解析： 时，在为增函数 为偶函数在，为减函数 而n+1nn-10, 50.（2009 四川卷文）函数)(2 1 Rxy x 的反函数是 A. )0(log1 2 xxy B. ) 1)(1(log2xxy C. )0(log1 2 xxy D. ) 1)(1(log2xxy 【答案答案】C 【解析解析】由yxyxy x 22 1 log1log12 ，又因原函数的值域是0y， 其反函数是)0(log1 2 xxy 51.（2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实 数x都有 )()1 () 1(xfxxxf，则) 2 5 (f的值是 A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 5 【答案答案】A 【解析解析】若x0，则有)( 1 ) 1(xf x x xf ，取 2 1 x，则有： ) 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 2 1 2 1 1 ) 1 2 1 () 2 1 (fffff （)(xf是偶函数，则 ) 2 1 () 2 1 (ff ） 由此得0) 2 1 (f 于是， 0) 2 1 (5) 2 1 ( 2 1 2 1 1 3 5 ) 1 2 1 ( 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 3 1 ) 1 2 3 () 2 5 ( fffffff 52.（2009 全国卷文）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，则 )1()1(gf （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf，故 选择 C。 53.（2009 湖北卷文）函数) 2 1 ,( 21 21 xRx x x y且的反函数是 A.) 2 1 ,( 21 21 xRx x x y且 B.) 2 1 ,( 21 21 xRx x x y且 C.) 1,( )1 (2 1 xRx x x y且 D.) 1,( )1 (2 1 xRx x x y且 【答案】D 【解析】可反解得 1 11 ( ) 2(1)2(1) yx xfx yx 故 故且可得原函数中 yR、y-1 所以 1 1 ( ) 2(1) x fx x 且 xR、x-1 选 D 54.(2009 湖南卷理)若 2 loga0， 1 ( ) 2 b 1，则 (D) Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0 【答案】：D 【解析】由 2 log0a 得0,a由 1 ( )1 2 b 得0b ，所以选 D 项。 55.(2009 湖南卷理)如图 1，当参数 2 时，连续函数(0) 1 x yx x 的图像分别对应 曲线 1 C和 2 C , 则 B A 1 0 B 1 0 C 12 0 D 21 0 【答案】：B 【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数 在(0,)是连续的，可知参数 12 0,0，即排除 C，D 项，又取1x ，知对应函数值 12 12 11 , 11 yy ，由图可知 12, yy所以 12 ，即选 B 项。 56.(2009 湖南卷理)设函数( )yf x在（，+）内有定义。对于给定的正数 K，定义函 数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xK fx K f xK 取函数( )f x= 1 2xe。若对任意的(,)x ，恒有( ) k fx=( )f x，则 AK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 【D】 【答案】：D 【解析】由( )10, x fxe 知0x ，所以(,0)x 时，( )0fx ，当(0,)x时， ( )0fx ，所以 max ( )(0)1,f xf即( )f x的值域是(,1，而要使( )( ) k fxf x在 R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得 D 符合，此时( )( ) k fxf x。故选 D 项。 57.（2009 天津卷理）设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则( )yf x A 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均有零点。 B 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均无零点。 C 在区间 1 ( ,1) e 内有零点，在区间(1, ) e内无零点。 D 在区间 1 ( ,1) e 内无零点，在区间(1, ) e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得 x x x xf 3 31 3 1 )( ，令0)( xf得3 x；令0)( xf得30 x； 0)( xf得3 x，故知函数)(xf在区间)3 , 0(上为减函数，在区间) , 3 ( 为增函数， 在点3 x处有极小值03ln1 ；又 01 3 1 ) 1 (, 01 3 , 3 1 )1( ee f e eff， 故选择 D。 58.（2009 天津卷理）已知函数 0,4 0,4 )( 2 2 xxx xxx xf若 2 (2)( ),faf a则实数 a的取值范围是 A (, 1)(2,) B ( 1,2) C ( 2,1) D (, 2)(1,) 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa 2 2，解得12 a，故选择 C。 59.（2009 四川卷理）已知函数 2 2 log(2) ( )2 4 (2 2 axx f xx x x x 当时 在点处 当时） 连续，则常数a的 值是 . . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。 解析：由题得3222log 2 aa，故选择 B。 解析 2：本题考查分段函数的连续性由 2 222 4 lim( )limlim(2)4 2 xxx x f xx x ， 2 2 (2)log1faa，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 2 (2)lim( )4 x ff x ， 可得3a 故选 B 60.（2009 四川卷理）已知函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有(1)(1) ( )xf xx f x，则 5 ( ( ) 2 f f的值是 A.0 B. 1 2 C.1 D. 5 2 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文 12） 解析：令 2 1 x，则0) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ffff；令0 x，则 0)0( f 由(1)(1) ( )xf xx f x得)( 1 )1(xf x x xf ，所以 0)0() 2 5 (0) 2 1 ( 2 1 2 3 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 5 ) 2 5 ( fffffff，故选择 A。 61.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 1 y x 有相同定义域的是 A .( )lnf xx B. 1 ( )f x x C. ( ) |f xx D.( ) x f xe 解析解析 解析 由 1 y x 可得定义域是0. ( )lnxf xx的定义域0x ； 1 ( )f x x 的定义域 是x0；( ) |f xx的定义域是;( ) x xR f xe定义域是xR。故选 A. 62.（2009 福建卷文）定义在 R 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示，则在2,0上， 下列函数中与 f x的单调性不同的是 A 2 1yx B. | 1yx C. 3 21,0 1,0 xx y xx D , ,0 x x exo y ex 解析解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在2,0上单调递 减，注意到要与 f x的单调性不同，故所求的函数在2,0上应单调递增。而函数 2 1yx在,1上递减；函数1yx在,0时单调递减；函数 0, 1 0, 12 3 xx xx y在（ 0 , 上单调递减，理由如下 y=3x20(x0 且 a1)有 两个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1) x yaa的图象过点(0,1), 而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围 是1a 答案: 1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 12.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上 是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x x x x,则 1234 _.xxxx 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知 (8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所 以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不 同的根 1234 ,x x x x,不妨设 1234 xxxx由对称性知 12 12xx 34 4xx所以 1234 1248xxxx 答案:-8 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 13.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】: 设函数(0, x yaa且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有 两个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1) x yaa的图象过点(0,1), 而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是1|aa. 答案: 1|aa 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 14.（2009 四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,f VV aV， 记a的象为( )f a。若映射:f VV满足：对所有abV、及任意实数, 都有 ()( )( )fabf af b，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题： 设f是平面M上的线性变换，abV、，则()( )( )f abf af b 若e是平面M上的单位向量，对,( )aVf aae设，则f是平面M上的线性变换； 对,( )aVf aa 设，则f是平面M上的线性变换； 设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()( )f kakf a。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案答案】 【解析解析】：令1，则)()()(bfafbaf故是真命题 同理，：令0,k，则)()(akfkaf故是真命题 ：aaf)(，则有bbf)( )()()()()()(bfafbababaf是线性变换， 故是真命题 ：由eaaf)(，则有ebbf)( ebfafeebeaebabaf)()()()()()( e是单位向量，e0，故是假命题 【备考提示备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 15.（2009 福建卷理）若曲线 3 ( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 _. 【答案】：(,0) 解析：由题意可知 2 1 ( )2fxax x ，又因为存在垂直于y轴的切线， 所以 2 3 11 20(0)(,0) 2 axaxa xx 。 16.(2009 陕西卷理)设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x,令lg nn ax，则 1299 aaa的值为 . 答案：答案：-2 1* 1 1 12991299 () (1)|11(1)(1) 1 1 298 991 .lg.lg.lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点， 的导函数为切线是： 令y=0得切点的横坐标： 17.（2009 四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,f VV aV， 记a的象为( )f a。若映射:f VV满足：对所有abV、及任意实数, 都有 ()( )( )fabf af b，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题： 设f是平面M上的线性变换，abV、，则()( )( )f abf af b 若e是平面M上的单位向量，对,( )aVf aae设，则f是平面M上的线性变换； 对,( )aVf aa 设，则f是平面M上的线性变换； 设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()( )f kakf a。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案答案】 【解析解析】：令1，则)()()(bfafbaf故是真命题 同理，：令0,k，则)()(akfkaf故是真命题 ：aaf)(，则有bbf)( )()()()()()(bfafbababaf是线性变换， 故是真命题 ：由eaaf)(，则有ebbf)( ebfafeebeaebabaf)()()()()()( e是单位向量，e0，故是假命题 【备考提示备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 18.（2009 宁夏海南卷文）曲线21 x yxex在点（0,1）处的切线方程为 。 【答案】31yx 【解析】2 xx xeey，斜率 k20 0 e3，所以，y13x，即31yx 19.（2009 重庆卷文）记 3 ( )log (1)f xx的反函数为 1( ) yfx ，则方程 1( ) 8fx 的解 x 【答案】2 解法 1 由 3 ( )log (1)yf xx，得 1 3yx ，即 1( ) 31fxx ，于是由318x ，解得 2x 解法 2 因为1( )8fx，所以 3 (8)log (8 1)2xf 三、解答题 1.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知二次函数)(xgy 的导函数的图像与直线2yx平行,且)(xgy 在x=1 处取得最小 值 m1(m0).设函数 x xg xf )( )( (1)若曲线)(xfy 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为2,求 m 的值 (2) )(Rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点,并求出零点. 【解析】 （1）设 2 g xaxbxc，则 2gxaxb； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a 又 g x在1x 取极小值， 1 2 b ， 2b 11 21gabccm ， cm； 2 g xm f xx xx ， 设 ,oo P x y 则 2 22 22 0000 0 2 m PQxyxx x 2 22 0 2 0 222 22 m xm x 2 2 224m 2 2 m ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由 120 m yf xkxk x x ， 得 2 120k xxm * 当1k 时，方程 *有一解 2 m x ，函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当1k 时，方程 *有二解4410mk ，若0m ， 1 1k m ， 函数 yf xkx有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk ；若0m ， 1 1k m ，函数 yf xkx有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk ； 当1k 时，方程 *有一解4410mk , 1 1k m , 函数 yf xkx有一零点 1 1 x k w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.（2009 全国卷理）本小题满分 12 分。 （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 设函数 32 33f xxbxcx在两个极值点 12 xx、，且 12 10,1,2.xx ， （I）求bc、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点, b c的 区域； (II)证明： 2 1 10 2 f x 分析（I）这一问主要考查了二次函数 根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。 2 363fxxbxc由题意知方程 0fx 有两个根 12 xx、 1 10,x 且， 2 1,2.x 则有 10f ， 00 f ， 1020ff，故有 右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点, b c的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此 题主要利用消元的手段，消去目标 32 2222 33f xxbxcx中的b， （如果消 c会较繁琐） 再利用 2 x的范围，并借助（I）中的约束条件得 2,0c 进而求解，有较强的技巧性。 解： 由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33f xxbxcx 消去b可得 3 222 13 2