（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第十一节导数的应用教案（含解析）.docx

第十一节 导数的应用1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数；f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题体验1(2018诸暨适应性训练)函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0B1C2 D无数个解析：选A函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，g(x)6x22x1中200，g(x)0恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点故选A.2已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案：33(2018台州模拟)设在定义域上的可导函数f(x)满足f(ex)xex，则函数f(x)的解析式为f(x)_，它的单调递增区间是_解析：设tex，则xln t，则f(ex)xex，等价为f(t)ln tt，即f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)，函数的导数为f(x)1，由f(x)10得0，得0x1，即函数的单调递增区间为(0,1)答案：ln xx(0,1)1求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决2求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论3注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别小题纠偏1(2018杭州十二校联考)函数f(x)的导函数f(x)的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与f(3)的大小关系为()Af(0)f(3) Bf(0)f(3)Cf(0)f(3) D无法确定解析：选B由题意知f(x)的图象是以x1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)f(2)f(3)，故选B.2函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_解析：y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8.最大值为8.答案：8第一课时导数与函数的单调性典例引领(2018杭州模拟)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)，试讨论f(x)的单调性解：f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减由题悟法导数法判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求求f(x)；(2)二定确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论即时应用已知函数g(x)ln xax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解：(1)g(x)2axb(x0)由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴，得g(1)12ab0，所以b2a1.(2)由(1)得g(x).因为函数g(x)的定义域为(0，)，所以当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)0，得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当a0时，令g(x)0，得x1或x，若1，即a，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即函数g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；若1，即0a，由g(x)0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增综上可得，当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；当a时，函数g(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减典例引领已知函数f(x)aln xx2ax(aR)，若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x).由f(x)0，得0x或x3；由f(x)0，得x3，所以f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为.由题悟法求函数的单调区间的2方法法一：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间法二：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数f(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性即时应用已知函数f(x)ln xbxc，f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy40.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间解：(1)f(x)b，f(1)1b，又f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1，故1b1，b2.将(1，f(1)代入方程xy40，得1f(1)40，f(1)5，f(1)bc5，将b2代入，得c3，故f(x)ln x2x3.(2)依题意知x0，f(x)2.令f(x)0，得0x，再令f(x)0，得x，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.典例引领设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，amax2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)由题悟法根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解即时应用在本例中，(1)若g(x)在(2，1)内为减函数，如何求解？(2)若g(x)的单调减区间为(2，1)，求a的值(3)若g(x)在(2，1)上不单调，求a的取值范围解：(1)g(x)x2ax2，且g(x)在(2，1)内为减函数，g(x)0，即x2ax20在(2，1)内恒成立，即解得a3.即实数a的取值范围为(，3(2)g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21是g(x)0的两个根，(2)(1)a，即a3.(3)由(1)知g(x)在(2，1)上为减函数，a的取值范围是(，3若g(x)在(2，1)上为增函数，可知ax在(2，1)上恒成立，又yx的值域为(3，2)，a的范围是2，)，函数g(x)在(2，1)上单调时，a的取值范围是(，32，)，故g(x)在(2，1)上不单调，实数a的取值范围是(3，2)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：选A函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，得0x1.2(2019嘉兴六校联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(4，)C(，2) D(0,3解析：选Af(x)x29ln x，f(x)x(x0)，由x0，得0x3，f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，a10且a13，解得1a2.3(2018丽水月考)已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x1)(xx0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)解析：选C根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x1)(xx0)，可知其导数f(x)(x2)(x21)(x1)(x1)(x2)，令f(x)0，得x1或1x2.因此f(x)的单调减区间是(，1)和(1,2)4函数f(x)x2ln x的单调递减区间为_解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)x0，得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)答案：(0,1)5(2019丽水模拟)若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，则当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递增，当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递减，当xln 2时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22.答案：(，2ln 22)二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的大致图象是()解析：选A设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，结合选项知选A.2若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为()A(，0) B(，2)C(2，1) D(2,0)解析：选D设幂函数f(x)x，因为图象过点，所以，2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，令g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)3(2018诸暨模拟)已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Af(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4函数f(x)的定义域为R.f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析：选B由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，选B.5(2017湖州期中)已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f(x)满足x1，则下列结论正确的是()A对于任意xR，f(x)0 B对于任意xR，f(x)0C当且仅当x(，1)，f(x)0D当且仅当x(1，)，f(x)0解析：选Bx1，f(x)是定义在R上的减函数，f(x)0，f(x)xf(x)f(x)，f(x)(x1)f(x)0，(x1)f(x)0，函数y(x1)f(x)在R上单调递增，而x1时，y0，则x1时，y0，故f(x)0.x1时，x10，y0，故f(x)0，f(x)0对任意xR成立，故选B.6(2019宁波调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0(x(，)，解得x或0x，即函数f(x)的单调递增区间是和.答案：和7已知函数f(x)2x2ln x(a0)，若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_解析：f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案：1，)8已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析：设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，x21，即x(，1)(1，)答案：(，1)(1，)9设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上，可得616a8a6，解得a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或x3.当0x2或x3时，f(x)0；当2x3时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，)，单调递减区间是(2,3)10已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)exax1的定义域为(0，)(1)设ae，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)ae，f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.(2)f(x)exax1，f(x)exa.易知f(x)exa在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xln a， 当0xln a时，f(x)0，当xln a时，f(x)0，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018浙江名校协作体联考)已知函数f(x)x2ex，若f(x)在t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_解析：函数f(x)x2ex的导数为y2xexx2exxex(x2)，令y0，得x0或2，所以函数f(x)在(2,0)上单调递减，在(，2)，(0，)上单调递增，0或2是函数的极值点，函数f(x)x2ex在区间t，t1上不单调，t2t1或t0t1，3t2或1t0，故实数t的取值范围是(3，2)(1,0)答案：(3，2)(1,0)2已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，即m.m9.即实数m的取值范围是.第二课时导数与函数的极值、最值锁定考向函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值或极值点；(3)已知函数极值情况求参数值(范围) 题点全练角度一：知图判断函数极值1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度二：已知函数求极值或极值点2已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值解：由f(x)x1，得f(x)1.当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值角度三：已知函数极值情况求参数值(范围)3已知函数g(x)ln xmx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围解：因为g(x)ln xmx，所以g(x)m(x0)，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足解得0m.所以m的取值范围为.通法在握1利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性演练冲关1(2018浙江十二校联考)如图，已知直线ykxm与曲线yf(x)相切于两点，则F(x)f(x)kx有()A1个极大值点，2个极小值点B2个极大值点，1个极小值点C3个极大值点，无极小值点D3个极小值点，无极大值点解析：选AF(x)f(x)k，如图所示，从而可知F(x)共有三个零点x1，x2，x3，由图可知，F(x)在(，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，(x2，x3)上单调递减，(x3，)上单调递增，x1，x3为极小值点，x2为极大值点，即F(x)有1个极大值点，2个极小值点，故选A.2设函数f(x)kln x，k0，求f(x)的单调区间和极值解：由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f()，无极大值3(2018余杭地区部分学校高三测试)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点，求3ab的取值范围解：法一：f(x)x2axb.由已知可得f(x)在(0,2)上存在两个不同的零点，则即作出满足条件的可行域如图中阴影部分(不包括边界)所示，令z3ab，由图可知8z0，故3ab的取值范围为(8,0)法二：f(x)x2axb.由已知可得f(x)在(0,2)上存在两个不同的零点，设f(x)x2axb(xx1)(xx2)，其中x1，x2(0,2)且x1x2.则3abf(3)9(3x1)(3x2)9(8,0)，即3ab的取值范围为(8,0)典例引领已知函数f(x)ln xax2bx(其中a，b为常数且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解：(1)因为f(x)ln xax2bx，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)2axb，因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，又a1，所以b3，则f(x)，令f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.(2)由(1)知f(x)(x0)，令f(x)0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11.当a0，即0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在(0，e上的最大值为f(1)，令f(1)1，解得a2.当a0，即x20时，若1，f(x)在，1，e上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x或xe处取得，而flna2(2a1)ln10，令f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a.若1e，f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减， 所以最大值可能在x1或xe处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，令f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1x2e矛盾若x2e，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以最大值可能在x1处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，矛盾综上所述，a或a2.由题悟法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的3步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值即时应用已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m0，求函数f(x)在区间m,2m上的最大值解：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)， 由得 0xe；由得xe.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)当即0m时，函数f(x)在区间m,2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me2m，即me时，函数f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e,2m)上单调递减，所以f(x)maxf(e)11；当me时，函数f(x)在区间m,2m上单调递减，所以f(x)maxf(m)1.综上所述，当0m时，f(x)max1；当me时，f(x)max1；当me时，f(x)max1.典例引领(2019金华调研)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x)1，f(e)1，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(e1)(xe)，即yx.(2)f(x)(x0)，当a0时，显然f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，则2ax2x10，易知0恒成立设方程的两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x20，x10x2，f(x)(x0)由f(x)0得x(0，x2)，由f(x)0得x(x2，)，其中x2，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(3)函数f(x)有两个零点，等价于方程a有两解令g(x)(x0)，则g(x).由g(x)0，得2ln xx1，解得0x1，g(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减，又当x1时，g(x)0，当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，作出函数g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a(0,1)时符合题意下面给出证明：当a1时，ag(x)max，方程至多一解，不符合题意；当a0时，方程至多一解，不符合题意；当a(0,1)时，g0，ga0，ga，ga0.方程在与上各有一个根，若f(x)有两个零点，a的取值范围为(0,1)由题悟法利用导数研究函数零点、方程根的步骤(1)求导，确定单调区间，求极值点；(2)画出草图；(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定参数取值范围等即时应用若方程(2xm)ln xx0在(1，e上有两个不等实根，求实数m的取值范围解：将方程(2xm)ln xx0两边同除以ln x得(2xm)0，整理得2xm，即函数g(x)2x的图象与函数ym的图象在(1，e上有两个不同的交点又g(x)，令g(x)0，则2ln2xln x10，解得ln x或ln x1(舍去)，即xe，当1xe时，g(x)0，即g(x)在上单调递减；当exe时，g(x)0，即g(x)在上单调递增又g4e，g(e)3e，当x1时，4em3e，故实数m的取值范围为.典例引领(2019杭州模拟)已知函数f(x)1，g(x)bx(e为自然对数的底数)，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)求证：当x1时，f(x)g(x).解：(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，即g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)证明：由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(x)11.因为x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).由题悟法1利用导数解决不等式证明问题的策略(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x1x2恒成立，即等价于函数h(x)f(x)g(x)为增函数2利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题即时应用(2018温州月考)设aR，函数f(x)ax3x1，g(x)ex(e是自然对数的底数)(1)证明：存在一条定直线l与曲线C1：yf(x)和C2：yg(x)都相切；(2)若f(x)g(x)对xR恒成立，求a的值解：(1)证明：函数f(x)，g(x)的导数分别为f(x)3ax2x1，g(x)ex，注意到对任意aR，f(0)g(0)1，f(0)g(0)1，故直线l：yx1与曲线C1：yf(x)与C2：yg(x)都相切(2)设函数F(x)ex，则对任意xR，都有F(x)1.因对任意aR，都有F(0)1，故x0为F(x)的极大值点，F(x)exexx2ex，记h(x)ax3a，则F(x)h(x)，注意到在x0的附近，恒有x2ex0，故要使x0为F(x)的极大值点，必须h(0)0(否则，若h(0)0，则在x0的附近，恒有h(x)0，从而F(x)0，于是x0不是F(x)的极值点；同理，若h(0)0，则x0也不是F(x)的极值点)，即3a0，从而a.又当a时，F(x)x3ex，则在(，0)上，F(x)0，在(0，)上，F(x)0，于是F(x)在(，0)上递增，在(0，)上递减，故F(x)maxF(0)1.综上所述，a.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019金华质检)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，则f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.2函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是()A25，2B50,14C50，2 D50，14解析：选C因为f(x)2x39x22，所以f(x)6x218x，当x4，3)或x(0,2时，f (x)0，f(x)为增函数，当x(3,0)时，f(x)0，f(x)为减函数，由f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是50，2.3已知函数f(x)的定义域为(x1，x2)，导函数f(x)在(x1，x2)内的图象如图所示，则函数f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为()A2 B3C4 D5解析：选A由f(x)的图象可知，其与x轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为2.4函数f(x)x312x6，x的零点个数是_解析：f(x)3x212，x.当x时，f(x)0，当x(2,3时，f(x)0.所以f(x)在上是增函数，在(2,3上是减函数故f(x)极大值f(2)22.由于f0，f(3)0，所以有0个零点答案：05已知定义域为(0，)的函数f(x)的图象经过点(2,4)，且f(x)1，则不等式f(2x2)2x的解集为_解析：令g(x)f(x)x，x(0，)，则g(x)f(x)10，所以g(x)f(x)x在(0，)上单调递增，且g(2)f(2)22.由f(2x2)2x得f(2x2)(2x2)2，即g(2x2)g(2)，所以解得1x2.答案：(1,2)二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)ln x(aR)在区间e2，)上有两个零点，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A令f(x)ln x0，xe2，)，得axln x记H(x)xln x，xe2，)，则H(x)1ln x，由此可知H(x)在e2，e1)上单调递减，在(e1，)上单调递增，且H(e2)2e2，H(e1)e1，当x时，H(x)，故当a时，f(x)在e2，)上有两个零点2(2018浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.解析：选C由图象可知f(x)过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.3已知函数f(x)(xR)为奇函数，当x(0,2时，f(x)ln xm2x，当x2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为()A1 B2Ce De2解析：选Cf(x)在R上是奇函数，当x2,0)时，f(x)的最小值为3，f(x)在(0,2上的最大值为3.当x(0,2时，f(x)m2，令f(x)0，解得xm2.当x(0，m2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(m2,2时，f(x)0，f(x)单调递减，故当xm2时，f(x)在(0,2上取得最大值3，即f(m2)ln m2m2m2ln m213，解得me.4已知函数f(x)1x，g(x)1x，设函数F(x)f(x3)g(x4)，且函数F(x)的所有零点均在a，b(a，bZ)内，则ba的最小值为()A6 B8C9 D10解析：选B易知f(x)1xx2x3x2 018，f(1)10.当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，因此f(x)是R上的增函数f(0)10，f(1)(11)0，函数f(x)在(1,0)上有唯一零点，函数f(x3)在(4，3)上有唯一零点同理，g(x)1xx2x2 018f(x)，g(1)10，当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，因此g(x)是R上的减函数g(0)10，g(1)(11)0，函数g(x)在(1，0)上有唯一零点，函数g(x4)在(3,4)上有唯一零点，函数F(x)f(x3)g(x4)的所有零点均在a，b(a，bZ)内，(ba)min4(4)8.5(2019台州调研)若函数f(x)2x1x22x2