函数的极值与最大值最小值.ppt

2.9 函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值,二、函数的最大值和最小值,一、函数的极值,1. 函数极值的定义,2.9 函数的极值与最大值最小值,定义1,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,2.9 函数的极值与最大值最小值,函数的极大值、极小值,是局部的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值，在整个定义域上，某一点的极大值，甚至可能小于极小值.,最大值与最小值,只是一点附近的,极大值,极小值,2.9 函数的极值与最大值最小值,2. 极值的必要条件,极值,证明略. (费马引理),导数等于零的点称为函数的驻点.,2.9 函数的极值与最大值最小值,例如，, 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；, 导数不存在的点也可能是极值点.,例如，,0是驻点，但在(0,0)函数无极值,在(0,0)取得极小值，但0点不可导,2.9 函数的极值与最大值最小值,定理2(第一充分条件),则,为极大值,则,不是极值.,(极小值);,3. 极值的充分条件,(1)如果在 左侧附近，有,而在 右侧附近，有,2.9 函数的极值与最大值最小值,求极值的步骤:,及不可导点；,2.9 函数的极值与最大值最小值,例1,求函数 的极值.,解,得驻点,因此 不是极值.,因此 是极小值.,2.9 函数的极值与最大值最小值,例2,解,因此,2.9 函数的极值与最大值最小值,定理3 (第二充分条件),证 (1),因此,当,充分小时,由极限的保号性,可见,与,异号.,所以,2.9 函数的极值与最大值最小值,定理3(第二充分条件)不能,应用.,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,例如,分别有极大值，极小值，无极值.,2.9 函数的极值与最大值最小值,例3,解,得驻点,2.9 函数的极值与最大值最小值,二、函数的最大值和最小值,闭区间a,b上的连续函数必有最大值和最小值 ，,最大值和最小值可以在区间的端点达到，也可以在区间内部达到.,2.9 函数的极值与最大值最小值,(1),其中最大(小)者就是 f (x)在a, b上的最大(小)值.,求连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最大(小)值的方法:,将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的点,(2),点处达到.,处的函数值和区间端点的函数值 f (a), f (b)比较,当 f (x)在闭区间a, b上单调时,最值必在端,若函数只有一个极值，这个唯一的极值是极大（小）值，则这个极值一定是最大（小）值.,(3),2.9 函数的极值与最大值最小值,例4,解,得驻点,比较可知最大值为,最小值为,2.9 函数的极值与最大值最小值,对实际问题求最值的步骤：,(1) 建立目标函数;,(2) 求最值;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大(小)值.,2.9 函数的极值与最大值最小值,例5,是产量Q的函数，且,问生产多少产品时总利润最大？最大利润是多少？,总利润=总收益-总成本 =总收益-固定成本-生产成本,某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，,每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R,2.9 函数的极值与最大值最小值,解,总利润L=R-U，,设生产的总成本函数为U，则U=20000+100Q，,只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，,即当产量为300件时，总利润最大，为25000元.,L(300)=25000，,2.9 函数的极值与最大值最小值,例6,河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积温w的函数，,而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量 的比例逐渐下降，经验公式为,讨论蛋白质含量随积温变化的情况.,2.9 函数的极值与最大值最小值,解,单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为,此函数导数的计算比较复杂，作近似计算,2.9 函数的极值与最大值最小值,取,令,得w = 683，是最大值点，,此时收获得到的蛋白质数量最多；,令,得w =493，是增长曲线的拐点，,此时是蛋白质数量增加最快的阶段.,2.9 函数的极值与最大值最小值,内容小结,2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性,1. 函数的极值,（2）极值可疑点:使导数为零或不存在的点；,（3）极值的判别方法：第一充分条件，第二充分条件；,（1）极值的必要条件；,2. 函数的最值,（1）最值点应在极值点或边界点上 ;,（3）实际应用题求最值的步骤 .,（2）最值是整体概念