2018_2019学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入章末小结教案（含解析）北师大版.docx

第五章 数系的扩充与复数的引入章末小结一、复数的基本概念1复数abi2复数的相等两个复数z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，当且仅当ac且bd时，z1z2.特别地，当且仅当ab0时，abi0.3复数是实数的充要条件(1)zabi(a，bR)Rb0；(2)zRz；(3)zRz20.4复数是纯虚数的充要条件(1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且b0；(2)z是纯虚数z0(z0)；(3)z是纯虚数z20.二、复数的运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i21.在运算的过程中常用来降幂的公式有：(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kN)(2)(1i)22i.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i是虚数单位，复数()A2i B2iC2i D2i解析：选B2i.2已知复数z(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B.第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.3若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2iC5i D5i解析：选D因为(z3)(2i)5，所以z32i，所以z5i，所以5i.4设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于()A12i B2iC12i D12i解析：选C由题意可得12i，故选C.5已知aR，i是虚数单位若za i，z4，则a()A1或1 B.或C D.解析：选A法一：由题意可知ai，z(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z|z|2a234，故a1或1.6已知复数z12ai(aR)，z212i，若为纯虚数，则|z1|()A. B.C2 D.解析：选D由于为纯虚数，则a1，则|z1|，故选D.7已知i为虚数单位，复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的值为()A1 B1C1或1 D1或0解析：选C因为复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，所以a2441，解得a1，故选C.8已知复数zi，则|z|()Ai BiC.i D.i解析：选D因为zi，所以|z|i i.9设z(2t25t3)(t22t2)i，tR，则以下结论正确的是()Az对应的点在第一象限Bz一定不为纯虚数C.对应的点在实轴的下方Dz一定为实数解析：选Ct22t2(t1)210，z对应的点在实轴的上方又z与对应的点关于实轴对称C项正确10复数2i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则AOB等于()A. B.C. D.解析：选B，它在复平面上的对应点为B，而复数2i在复平面上的对应点是A(2,1)，显然AO，BO，AB.由余弦定理得cosAOB，AOB.故选B.11已知是复数z的共轭复数，zz0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选A设zxyi(x，yR)，则xyi，代入zz0，得xyixyix2y20，即x2y22x0，整理得(x1)2y21.复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆12已知复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是()A. B.C. D.解析：选D因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13计算：_.解析：i.答案：i14i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析：由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20,12a0，解得a2.答案：215设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.解析：|abi|，(abi)(abi)a2b23.答案：316若关于x的方程x2(2i)x(2m4)i0有实数根，则纯虚数m_.解析：设mbi(bR且b0)，则x2(2i)x(2bi4)i0，化简得(x22x2b)(x4)i0，即解得故m4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z123i，z2，求：(1)z1z2；(2).解：因为z213i，所以(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2)i.18(本小题满分12分)设复数zlg(m22m2)(m23m2)i(mR)，试求m取何值时？(1)z是实数. (2)z是纯虚数(3)z对应的点位于复平面的第一象限解：(1)由m23m20且m22m20，解得m1或m2，复数表示实数(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数由lg(m22m2)0，且m23m20，求得m3，故当m3时，复数z为纯虚数(3)由lg(m22m2)0，且m23m20，解得m2或m3，故当m2或m3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限19(本小题满分12分)已知复数z满足(12i)43i.(1)求复数z；(2)若复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：(1)(12i)43i，2i，z2i.(2)由(1)知z2i，则(zai)2(2iai)22(a1)i24(a1)24(a1)i，复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，解得1a1，即实数a的取值范围为(1,1)20(本小题满分12分)已知复数z1满足(1i)z115i，z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若|z1|z1|，求a的取值范围解：因为z123i，z2a2i，a2i，所以|z1|(23i)(a2i)|4a2i|，又因为|z1|，|z1|z1|，所以，所以a28a70，解得1a7.所以a的取值范围是(1,7)21(本小题满分12分)设为复数z的共轭复数，满足|z|2.(1)若z为纯虚数，求z.(2)若z2为实数，求|z|.解：(1)设zbi(bR且b0)，则bi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，所以b，所以zi.(2)设zabi(a，bR)，则abi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，因为z2abi(abi)2aa2b2(b2ab)i.z2为实数，所以b2ab0.因为|b|，所以a，所以|z| .22(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积解：(1)设zabi(a，bR)，