《能量法及其应用》PPT课件.ppt

第10章 能量法及其应用,10.1 基本概念,10.2 杆件变形能计算,10.3 单位载荷法,10.4 互等定理,功和余功和的概念 力和位移都是广义的 力和位移可以是非线性的,功,余功,10.1 基本概念,1.功的概念： 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功：T = P 变力作功：力与位移呈正比,量纲：力长度 单位：焦耳 Nm,11,12,一、功（WORK),2.实功与虚功,实功：力对自身引起的位移上作功。,1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 2）两者均为实际存在，但彼此无关。,虚功：力与位移无关。,10.1 基本概念,问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位移，求Pi所作虚功Tik。,ik表示K原因引起的Pi作用点沿Pi方向的位移。,Tik=Piik,外力虚功的计算,10.1 基本概念,对于多个力作用的情形,外力功,余功,10.1 基本概念,广义力与广义位移 广义力：指与力相关的因子，,广义位移：指在作功的关系上与广义力相对应的与位移相关的因子。,注意：广义力可有不同的量纲，广义位移也可有不同的量纲，但它们的乘积一定是功的量纲。,余应变能密度 余应变能,10.1 基本概念,应变能密度 应变能,二、应变能,根据能量守恒原理：,先加载Fpi,应变能,再加载 FP1.FPn,总应变能,由Fpi产生的应变能增量,10.1 基本概念,卡氏第一定理：弹性杆件的应变能V对于杆件上某位移之变化，等于与该位移相应的荷载。,将应变能写成位移的函数,应变能增量,应变能增量,卡氏第一定理,10.1 基本概念,卡氏第一定理：弹性杆件的应变能V对于杆件上某位移之变化，等于与该位移相应的荷载。,如果只有一个虚位移增量i，则：,如果只有一个虚力增量FPi,10.1 基本概念,卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V对作用于该杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。,杆件的应变能的计算,1变形后横截面仍为平面,2静力学平衡方程,弯曲,扭转,弯曲,10.2 杆件变形能计算,扭转,拉压变形,拉压,线弹性杆的应变能计算,轴向受力,(dx)位移下, 外力功：,根据功能原理，应变能：,总应变能为：,应变能密度,10.2 杆件变形能计算,由胡克定理,根据扭矩与d的关系：,应变能：,两横截面相对转角d, 外力功：,总应变能：,应变能密度：,扭转,10.2 杆件变形能计算,dq 与弯矩的关系：,应变能：,总应变能：,应变能密度：,弯曲,10.2 杆件变形能计算,dx段两截面相对弯曲d,外力功：,弯曲,拉压,扭转,满足叠加原理,线性问题,10.2 杆件变形能计算,例1：梁,求：应变能，余应变能,应变能密度,应变能,若为弯曲变形,10.2 杆件变形能计算,余应变能密度,余应变能,10.2 杆件变形能计算,余应变能,则：,应变能,例2: 使用功量守恒原理，计算图示简支梁C点的挠度。,解：,思考：当简支梁上作用载荷位均布载荷时，能否使用这种方法计算C点挠度。,C,a,a,A,F,B,fC,10.2 杆件变形能计算,单位力法,利用虚力原理计算结构的位移时，因为力是虚设的，为方便计算一般在所要计算位移的位置和方向施加数值为1的广义力，即单位载荷，称为单位载荷法。,因此在虚设单位力下，总外力虚功为：,表示虚拟状态中的广义支座反力，C 表示实际状态中的广义支座位移。,总虚应变能为：,虚功方程：,10.3 单位载荷法,）式中kdx、kdx、dk由于某种原因k引起的变形。,）式中,单位力Pi=1引起的反力及内力。,虚力状态,由于虚加,位移计算一般公式的说明,10.3 单位载荷法,位移状态,）正负号虚加单位力时，指向可随意假定，计算结果为正，表示实际位移方向与虚加力方向相同，否则相反。,4）此式可计算结构的任一广义位移，但注意虚加单位力必须是与广义位移相对应的广义力。,当K = P 时，支移 C = 0，位移公式为：,由胡克定理：,K考虑分布不均匀引用的修正系数，与截面形状有关，可查工程手册。矩形截面：K=1.2, 圆形截面：K= 10/9, I字型截面:K=A/A腹,10.3 单位载荷法,静定结构荷载作用下的位移计算公式,说明：式中,FNP ,FQP ,MP 实际荷载引起的内力,虚加单位力引起的内力,10.3 单位载荷法,1. 公式的物理意义: 2公式的使用： 对梁、刚架等以受弯为主的构件：,3.正负号：单位力指向可随意假定，,对桁架：,若EA = 常数，,注意：,正负号规定应一致。,10.3 单位载荷法,例3：求梁B点转角位移。,解题步骤：,1. 取虚力状态；,2. 绘出 及MP 图写出表达式；,3. 代公式进行计算,10.3 单位载荷法,梁为受弯构件，故可考虑忽略轴向变形和剪切变形对位移的影响。,例4：求梁C点的竖向位移。,解题步骤：,1. 取虚力状态；,2. 绘出 及MP 图写出表达式；,3. 代公式进行计算,（）,10.3 单位载荷法,ql2/2,q,A,B,例5：求梁B点竖向线位移。,10.3 单位载荷法,请大家计算： 求梁B截面的角位移。,例6 ：求梁C点竖向线位移。,10.3 单位载荷法,已知：EI ,l, Fp,试用卡式定理求A点，B点垂直位移,解：1. 梁内应变能,2. 卡式第二定理,10.3 单位载荷法,例7,一、计算A点垂直位移,二、计算B点垂直位移,解：1.加假设力F,2.弯矩方程,3. 应变能,10.3 单位载荷法,F,4. 卡式第二定理,虚设力，不产生作用效应,用单位载荷法计算B点垂直位移,解：1.施加单位载荷F=1,2.弯矩方程,3. 虚力原理,10.3 单位载荷法,F=1,试用虚功原理（虚位移原理）计算C点约束力矩MC,2.应变能,10.3 单位载荷法,解：1假设在C点有一逆时针转角 D,例8：求C点的转角,解：在C点施加力矩Mc,CD段,BC段,AB段,2. 卡氏第二定理,10.3 单位载荷法,Mc,1. 弯矩方程,例9：,图示在均布载荷q作用下的简支梁，两跨度为l ，梁的刚度为EI，计算梁的应变能。,10.3 单位载荷法,解 :,建立图示梁的弯矩表达式：,1、方法1：,x处作用单位载荷时，梁的弯矩表达式：,(1),外力所做的功：,(2),10.3 单位载荷法,P=1,例9：,10.3 单位载荷法,2、方法2,(1),(2),将（1）代入（2）解得：,应变能：,虚功互等定理,定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作 的虚功等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,表达式：,10 .4 互等定理 RECIPROCAL THEOREMS,10 .4 .1 功的互等定理,由虚功方程：,说明：在虚功互等定理的两种状态中可含支移，此时外力作功须含支反力作功。,虚功互等定理的证明：,10.4 .1 功的互等定理,由虚功互等定理,定理：第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。,有:,即位移互等可以是线位移互等、角位移互等，也可是线位移与角位移互等。,注意：P1 、P2是广义力，12、21是广义位移。,10.4 .2 位移互等定理,定理：支座1 的单位位移引起的支座2的反力等于支座2的单位位移引的支座1的反力。,由虚功互等定理：,T12=r212,T21=r121,T12 = T21,1 = 2 = 1,10.4 .3 反力互等定理,注 意：,1.支移是广义位移，反力可以是力也可以是力偶； 2.反力互等定理适用于体系中任意两个支座的反力，即rik = rki，但在两种状态中，同一支座的反力与位移在作功的关系上要对应。,10.4 .3 反力互等定理,静不定问题,求解静不定问题的一般关系,建立并解,平衡方程,变形协调关系方程,力-位移关系方程,求解,平衡方程,补充方程,由变形协调方程和力-位移关系方程组合而成,方程数等于静不定自由度,约束反力和内力不能由自由体受力图和平衡方程单独确定.,专题1:超静定结构内力计算,3-3=0,4-3=1,确定静不定问题的自由度,超静定结构内力计算专题,532,633,确定静不定问题的自由度,超静定结构内力计算专题,由小变形假设: u=0,因此, FAx FBx= 0,正好我们需要一个补充方程:,用小变形假设确定一些未知约束反力。,超静定结构内力计算专题,FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2,MA=MB,由结构的对称性可知,FBx=0,然后，我们正需要一个补充方程。,使用对称性确定一些未知约束反力。,超静定结构内力计算专题,超静定结构 内力计算,关键：求多余力,静定结构 内力计算,沿多余联系方向建立变形协调条件,original structure 原结构,primary structure 基本结构,原结构：BV = 0,基本结构：1 = 11 + 1P,变形协调条件：基本结构1 = 原结构BV 即：11+1P=0(equation of consistent deformations),计算思路：,超静定结构内力计算专题,正则方程(力法方程）的基本原理,primary structure,简例：绘图示超静定梁的弯矩图,变形协调：,11 + 1P = 0,超静定结构内力计算专题,=,X1,=,+,对于线弹性材料令：,11表示X1为单位力时， 在B处沿X1方向产生的位移。,方程为：11X11P0,式中11 、1P被称为系数 和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。,一次超静定结构的正则方程,1X1,A,1,11,也可选取简支梁为基本结构,变形协调：,1 =11 + 1P = 0,11= 11X1,11X1,超静定结构内力计算专题,或称一次超静定结构的力法方程, 求系数11 、自由项1P,由积分得：,11 1P均为静定结构在已 知力作用下的位移，故可由积分 法或图乘法求得。,作 、 图，,超静定结构内力计算专题,总结：,（1）判定超静定次数，确定基本未知量； （2）取基本体系； （3）建立变形协调方