§3.3.2-1简单线性规划问题(一).ppt

3.3.2-1简单线性规划问题(一),2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,2,引例:,一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款 至少可带来3万元的收益，其中从企业贷 款中获益12%，从个人贷款中获益10%. 那么，信贷部应如何分配资金呢？,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,3,引例:,这个问题中存在一些不等关系，我们 应该用什么不等式模型来刻画它们呢？,一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款 至少可带来3万元的收益，其中从企业贷 款中获益12%，从个人贷款中获益10%. 那么，信贷部应如何分配资金呢？,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,4,引例:,一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款 至少可带来3万元的收益，其中从企业贷 款中获益12%，从个人贷款中获益10%. 那么，信贷部应如何分配资金呢？,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,5,讲授新课,我们把含有两个未知数，并且未知数的 次数是1的不等式称为二元一次不等式.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,6,讲授新课,我们把含有两个未知数，并且未知数的 次数是1的不等式称为二元一次不等式.,2. 我们把由几个二元一次不等式组成的不 等式组称为二元一次不等式组.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,7,讲授新课,我们把含有两个未知数，并且未知数的 次数是1的不等式称为二元一次不等式.,3. 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值 构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对 (x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组) 的解集.,2. 我们把由几个二元一次不等式组成的不 等式组称为二元一次不等式组.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,8,讲授新课,有序实数对可以看成直角坐标平面 内点的坐标.于是，二元一次不等式(组) 的解集就可以看成直角坐标系内的点构 成的集合.,注意：,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,9,讲授新课,有序实数对可以看成直角坐标平面 内点的坐标.于是，二元一次不等式(组) 的解集就可以看成直角坐标系内的点构 成的集合.,注意：,例如二元一次不等式xy6的解集 为 (x,y)| xy6.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,10,思考：,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,11,思考：,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,12,问题一:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,13,探究:,二元一次不等式xy6所表示的图形.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,14,探究:,二元一次不等式xy6所表示的图形.,在直角坐标系中，所有点被直线l :xy6 分成三类：,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,15,探究:,二元一次不等式xy6所表示的图形.,在直角坐标系中，所有点被直线l :xy6 分成三类：,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,16,探究:,二元一次不等式xy6所表示的图形.,在直角坐标系中，所有点被直线l :xy6 分成三类：,x,6,6,y,O,3,3,在直线l上的点; 在直线l 左上方的 区域内的点; 在直线l 右下方的 区域内的点.,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,17,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点 A(x2, y2)，使它的坐标 满足不等式xy6， 在图中标出点P和点A.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,18,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点 A(x2, y2)，使它的坐标 满足不等式xy6， 在图中标出点P和点A.,P(x1, y1),2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,19,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点 A(x2, y2)，使它的坐标 满足不等式xy6， 在图中标出点P和点A.,A(x2, y2),P(x1, y1),2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,20,我们发现，在直角坐标系中，以二元 一次不等式xy6的解为坐标的点都在 直线xy6的左上方；,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,21,我们发现，在直角坐标系中，以二元 一次不等式xy6的解为坐标的点都在 直线xy6的左上方； 反之，直线xy6 左上方点的坐标也满足 不等式xy6.,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,22,我们发现，在直角坐标系中，以二元 一次不等式xy6的解为坐标的点都在 直线xy6的左上方； 反之，直线xy6 左上方点的坐标也满足 不等式xy6. 因此，在直角坐标 系中，不等式xy6 表示直线xy6左上 方的平面区域.,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,23,类似地，不等式xy6表示直线 xy6右下方的平面区域.我们称直线 xy6为这两个区域的边界.,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,24,类似地，不等式xy6表示直线 xy6右下方的平面区域.我们称直线 xy6为这两个区域的边界. 将直线xy6画成虚 线，表示区域不包括边界.,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,25,类似地，不等式xy6表示直线 xy6右下方的平面区域.我们称直线 xy6为这两个区域的边界. 将直线xy6画成虚 线，表示区域不包括边界. 将直线xy6画成实 线，表示区域包括边界.,探究:,x,6,6,y,O,3,3,l:xy6,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,26,问题一:,问题二:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,27,问题三:,问题一:,问题二:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,28,归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,29,归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,30,归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,31,(3) 区域确定:,(1),归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,32,(3) 区域确定:,(1),归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,33,(3) 区域确定:,(1),归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,34,(3) 区域确定:,(1),归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,35,(3) 区域确定:,(1),归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,36,二元一次不等式AxByC0表示 的 平面区域常用“直线定界，特殊点定 域”的方法，即画线取点判断.,归纳总结:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,37,讲解范例:,例1. 画出x4y4表示的平面区域.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,38,讲解范例:,例2. 画出 表示的平面区域.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,39,讲解范例:,例3. 用平面区域表示不等式组 的解集.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,40,练习:,1. 教材P.86练习第1、2、3题.,2. 画出不等式组 表示的平 面区域，并求该区域的面积.,3. 画出(x2y1)(xy4)0表示的平 面区域.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,41,课堂小结,湖南省长沙市一中卫星远程学校,懂得画出二元一次不等式 AxByC0(0)在平面 区域中表示的图形；,2. 注意如何表示边界.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,42,课后作业,湖南省长沙市一中卫星远程学校,2. 习案作业二十六.,1. 阅读教材P.82-P.86；,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,43,【教学目标】 1了解二元一次不等式表示平面区域； 2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、 可行解、可行域、最优解等基本概念； 3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些 简单的实际问题；,【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,44,例：设满足以下条件,5x+6y 30 y 3x y 1 ,求z=2x+yr 的最小值和最大值。,5x+6y= 30,y= 1,y= 3x,x,y,1,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,45,在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：,1.课题导入,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,46,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,47,将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。,y,x,4,8,4,3,o,提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？,把z2x3y变形为 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。,M,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,48,设工厂获得的利润为z，则z2x3y,把z2x3y变形为 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。,由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,49,二、基本概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。,满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为二元线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域,可行解,最优解,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,50,三、练习题：,1、求z2xy的最大值，使x、y满足约束条件：,2、求z3x5y的最大值，使x、y满足约束条件：,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,51,1.解：作出平面区域,x,y,A,B,C,o,z2xy,作出直线y=2xz的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。,求得C点坐标为（2，1），则Zmax=2xy3,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,52,2.解：作出平面区域,x,y,o,A,B,C,z3x5y,作出直线3x5y z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。,求得A（1.5，2.5），B（2，1），则Zmax=17，Zmin=11。,四.课时小结,用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,54,五、课后练习：,习题3-4 A组 3、4,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,55,汉寿三中 艾镇南 2008.10.24,56,一.复习回顾,1.在同一坐标系上作出下列直线:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,简单线性规划(1)-可行域上的最优解,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,57,y,问题1：x 有无最大（小）值？,问题2：y 有无最大（小）值？,问题3：2x+y 有无最大（小）值？,2.作出下列不等式组的所表示的平面区域,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,58,二.提出问题,把上面两个问题综合起来:,设z=2x+y,求满足,时,求z的最大值和最小值.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,59,y,直线L越往右平移,t随之增大.,以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。,思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,60,线性 规划,问题： 设z=2x+y，式中变量满足 下列条件： 求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件,Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,61,线性规划,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,62,线性目标函数,线性约束条件,线性规划问题,任何一个满足不等式组的（x,y）,可行解,可行域,所有的,最优解,目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数。,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,63,线性规划,例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件：,解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。,探索结论,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.,当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.,也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,64,线性规划,例2 解下列线性规划问题： 求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：,探索结论,x+3y=0,300x+900y=0,300x+900y=112500,答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.,当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,65,课前练习,(1)已知 求z=2x+y的最大值和最小值。,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,66,5,5,1,O,x,y,y-x=0,x+y-1=0,1,-1,y+1=0,A(2,-1),B(-1,-1),2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,67,例1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?,若生产1件甲种产品获利2万元, 生产1 件乙种产品获利3万元, 采用哪种生产安排利润最大?,把例1的有关数据列表表示如下:,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,68,将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.,解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:,问题：求利润2x+3y的最大值.,线性约束条件,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,69,M（4，2）,问题：求利润z=2x+3y的最大值.,变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,70,N（2，3）,变式：求利润z=x+3y的最大值.,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,71,解线性规划应用问题的一般步骤：,2）设好变元并列出不等式组和目标函数,3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；,4）在可行域内求目标函数的最优解,1）理清题意，列出表格：,5)还原成实际问题,(准确作图，准确计算),画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；,法1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,法2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,72,例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,2019/7/2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,73,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮， 能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y， 约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：,x,y,o,答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmax3,线性约束条件,2