2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质2学案新人教A版.doc

2.2.2椭圆的简单几何性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1，2)与椭圆y21的位置关系.答案当x1时，得y2，故y，而2，故点在椭圆外.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0，则直线和椭圆相交；若0，则直线和椭圆相切；若b0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0.例如，直线l：yk(x2)1和椭圆1.无论k取何值，直线l恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系的判断例1已知点P(k，1)，椭圆1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为_.答案(，)(，)解析据题知1，解得k.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案(，)(，)解析依题1，解得k2，即k.反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1已知点(3，2)在椭圆1(ab0)上，则()A.点(3，2)不在椭圆上 B.点(3，2)不在椭圆上C.点(3，2)在椭圆上 D.以上都不正确答案C解析由已知得1，只有选项C符合该条件.命题角度2直线与椭圆位置关系的判断例2(1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定答案A解析直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k.即k的取值范围为.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)0直线与椭圆相交有两个公共点.(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点.(3)0直线与椭圆相离无公共点.跟踪训练2(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. B. C. D.答案(1)C(2)C解析(1)因为直线过定点(3，1)且0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB由于P(4，2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4已知动点P(x，y)在椭圆1上，若点A的坐标为(3，0)，|1，且0，求|的最小值.解由|1，A(3，0)，知点M在以A(3，0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则|，当|minac532时，|min.1.点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()A.a B.aC.2a2 D.1a1答案A解析由题意知1，解得a.2.已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交答案C解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)24532642)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.4.若直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，则b的取值范围为_.答案(2，2)解析直线ykxb恒过定点(0，b)，且直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，点(0，b)在椭圆1内部，2bb0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()A. B. C. D.答案B解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2(1)，y0，k.4.已知F1，F2是椭圆y21的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|PF2|取最大值的点P为()A.(2，0) B.(0，1) C.(2，0) D.(0，1)或(0，1)答案D解析由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|()24，当且仅当|PF1|PF2|2，即P(0，1)或(0，1)时，取“”.5.已知椭圆：1(0b0，椭圆C：1(ab0)，且c2a2b2.若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A.，1) B.(0， C.，1) D.(0，答案B解析圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c，0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需可得结合e(0，1)，可得02，所以m2n20)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.若6，则k的值为_.答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x11)相交于A，B两点，且l过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C的方程.解由椭圆C：1(a1)得c1，椭圆的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0).又l经过点F2，m1，即直线l的方程为yx1，代入1(a1)得(2a21)x22a2x2a2a40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.又以AB为直径的圆过点F1，AF1BF1.kAF1kBF11，即1，y1y2(x11)(x21)0.y1x11，y2x21，(x11)(x21)(x11)(x21)0，即x1x21，1，解得a22.又a21，a22，即a211.故所求椭圆的方程为1.12.椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P，Q两点，且(O为坐标原点).(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围.(1)证明椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由4a44(a2b2)a2(1b2)0得a2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.，x1x2y1y20.x1x2(1x1)(1x2)0.2x1x2(x1x2)10，即10.a2b22a2b2，即2.等于定值.(2)解e，b2a2c2a2a2e2.又a2b22a2b2，2e22a2(1e2)，即a2.e，a2，即a，2a，即椭圆长轴长的取值范围是，.13.椭圆C：1(ab0)过点(1，)，离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)当F2AB的面积为时，求直线的方程.解(1)因为椭圆C：1(ab0)过点(1，)，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得a24，b23.所以椭圆C的方程