高中全程复习方略配套课件：43平面向量的数量积(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

第三节 平面向量的数量积,三年27考 高考指数: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角.,1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.,1.平面向量的数量积 （1）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，则向量a与b的数量积是数量 ，记作ab，即 ab= .,|a|b|cos,|a|b|cos,（2）向量的投影 设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 ；向量b在a方向上的投影是 . （3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与 的乘积.,|a|cos,|b|cos,b在a的方向上的投影|b|cos,【即时应用】 （1）已知正三角形ABC的边长为1，则 = ； 方向上的投影为 . （2）已知|a|=1，|b|=2，ab=1，则向量a、b的夹角等于 .,【解析】（1） =| | |cosA=11cos60= . 方向上的投影为| |cosA=1cos60= . （2）cos= = = , 又0180,=60. 答案：（1） （2）60,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.,x1x2+y1y2=0,【即时应用】 （1）思考：若ab0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角.,（2）已知a=（1，-1），b=(2,4),判断下列命题的真假.（请在括号内填“真”或“假”） |a|+|b|= +2 ( ) 若为向量a、b的夹角，则cos=- ( ) 若a(a+b),则=1 ( ) （a+b）(4a+b)=18 ( ),【解析】|a|+|b|= ,故真. cos= = ,真. a+b=(1,-1)+(2,4)=(2+1,4-1)， a(a+b)=(2+1)-(4-1)=-2+2=0， =1,真. a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)， (a+b)(4a+b)=36+30=18,真. 答案：真 真 真 真,3.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：ab=ba; （2）数乘结合律：(a)b= = ; （3）分配律：a(b+c)= .,(ab),a(b),ab+ac,【即时应用】 （1）思考：（ab）c与a(bc)相等吗？ 提示：不一定相等，ab,bc均为实数，(ab)cc，a(bc)a,所以(ab)c与a(bc)不一定相等.,（2）若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)b=0，则a与b的夹角为. 【解析】设a,b的夹角为， (2a+b)b=0，2ab+b2=0， 2|a|b|cos+|b|2=0, 又|a|=|b|0，0180， cos=- ,=120. 答案：120,平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法 （1）已知向量a、b的模及夹角，利用公式ab= |a|b|cos求解； （2）已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.,2.利用数量积求解长度问题的处理方法 （1）a2=aa=|a|2或|a|= . （2）|ab|= = . （3）若a=(x,y),则|a|= .,【例1】（1）(2011大纲版全国卷）设向量a，b满足 |a|=|b|=1,ab=- ，则|a+2b|=( ) （A） （B） （C） （D） （2）(2011湖南高考）在边长为1的正三角形ABC中，设 = . （3）(2011辽宁高考改编）已知向量a=(2,1),b=(-1,k), a(2a-b),则(a+b)(a-b)= .,【解题指南】（1）借助|a+2b|2=(a+2b)(a+2b)求解； （2）用基向量 、 表示向量 、 ；（3）借助a(2a -b)=0求k，进而求（a+b）(a-b). 【规范解答】（1）选B.|a+2b|2=a2+4ab+4b2=12+4 (- )+412=3， |a+2b|= .,（2）由题意画出图形如图所示，取基底 ，结合图形可得 = （ ）， = = = = . 答案：-,（3）2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由a(2a-b)得a（2a-b）=10+(2-k)=0, k=12,b=(-1,12), (a+b)(a-b)=a2-b2=(22+12)-(-1)2+122=-140. 答案：-140,【互动探究】若本例（2）题条件改为“若D、E分别为边BC、AC 的中点”，又该如何求 ？ 【解析】D、E分别为BC、AC的中点， = （ ）, ， = =- =-,【反思感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.,【变式备选】在ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2， 4）， =（1，3），则 = . 【解析】 =（-1，-1）= ， =（-3，-5）， =8. 答案：8,平面向量的垂直问题 【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 （1）若a,b为非零向量，则ab ab=0；若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab x1x2+y1y2=0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.,【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.,【例2】(2012杭州模拟）已知平面向量a=( ，-1), b=( , ). (1)证明：ab; (2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+（t2 -3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t). 【解题指南】(1)证明ab=0即可，（2）由xy=0及ab=0,寻找k、t之间的关系.,【规范解答】(1)ab= +(-1) =0, ab. (2)a2=4,b2=1,ab=0, 又xy,xy=a+(t2-3)b(-ka+tb) =-ka2+(t-kt2+3k)ab+t(t2-3)b2 =-4k+t3-3t=0，k= .,【反思感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足( ) ，求t的值.,【解析】（1）由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 =(2,6), =(4,4)， 所以| |=2 ,| |=4 ， 故所求的两条对角线的长分别为4 、2 .,(2)由题设知： =(2,1)， =(3+2t,5+t). 由（ ） 得( ) =0， 即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以t=- .,平面向量的夹角的求法 【方法点睛】 求向量夹角的方法 （1）利用向量数量积的定义知，cos= 其中两向量夹 角的范围为0180，求解时应求出三个量：ab,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.,（2）利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos= . (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用 正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】ab0 00(0)是为锐角（钝角）的必要而不充分条件.,【例3】（1）(2011湖北高考）若向量a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与a-b的夹角等于 ( ) （A）- （B） （C） （D） （2）(2011浙江高考）若平面向量 满足 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 的夹角 的取值范围是 .,【解题指南】（1）先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.,【规范解答】（1）选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b =(1,2)-(1,-1)=(0,3)， (2a+b)（a-b)=30+33=9, |2a+b|=3 ,|a-b|=3, cos= ,又0，= . (2)由S= sin=| |sin= 可得， sin= ,故 , . 答案： , ,【互动探究】若将本例（1）题干中向量a改为（1，k），k -1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)， k-1,2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角， （2a+b)（a-b)0， 即（2k-1)(k+1)0,k , 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1.又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k .,【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.,【变式备选】已知A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），O为坐标原点， （1） ，求sin2的值. (2)若| |= ,且(-,0),求 的夹角.,【解析】（1） =（cos，sin）-（2，0）=（cos-2，sin）， =（cos，sin）-（0，2）=（cos，sin-2）， =cos（cos-2）+sin（sin-2） =cos2-2cos+sin2-2sin=1-2（sin+cos）=- ， sin+cos= ，1+2sincos= ， sin2= -1=- . (2) =(2,0), =(cos,sin)，, =(2+cos,sin)， | |= = 即4+4cos+cos2+sin2=7 4cos=2即cos= . -0,=- . 又 =(0,2), =( ,- ), 设为 与 的夹角， cos= = , = .,【满分指导】平面向量主观题的规范解答 【典例】（14分）(2011陕西高考）叙述并证明余弦定理. 【解题指南】利用向量数量积证明，由a2= =( )2,把 （ ）2展开利用 =| | |cosA代入，即可证明.,【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.6分 证明：如图，,a2= 10分 = = -2| | |cosA+ =b2-2bccosA+c2， 即a2=b2+c2-2bccosA，12分 同理可证b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC14分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线，那么ab的值为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以ab=12+12=4.,2.(2011辽宁高考）若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为( ) （A） -1 （B）1 （C） （D）2,【解析】选B.由(a-c)(b-c)0, 得ab-ac-bc+c20, 又ab=0且a,b