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数 值 分 析,韩 超 Email: ,参考书目 (Reference) 数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社 计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社 数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社 Numerical Analysis (Third Edition) David Kincaid & Ward Cheney 数值分析（第三版）, 王国荣译, 机械工业出版社,为什么学习数值计算方法？,解决实际问题的理想化过程,教 材 内 容 体 系,第一章 绪 论,第二章 线性方程组的直接解法,第三章 函数插值,第四章 函数逼近,第五章 数值积分法,第六章 线性方程组的迭代解法,第七章 非线性方程(组)的数值解法,第八章 数值最优化,第九章 常微分方程的数值解法,第十章 矩阵特征值问题的数值解法,第一章 绪 论,1 课程研究的内容和构造算法的主要途径,2 误差,3 有效算法要具备的条件,4 灵敏度分析,5 向量范数与矩阵范数,1 研究内容和构造算法的主要途径,研究数学问题数值解的计算方法， 即研究算法的。,1 哪些数学问题？,大型线性方程组Ax=b求解; 矩阵A的特征值和特征向量计算; 非线性方程 的求解(求根); 积分 计算; 常微分方程初值问题求解; 函数逼近等,2 研究数值解的必要性,例1 常微分方程初值问题,其解析解(精确解)为:,要求计算,等近似值。,3 构造算法的主要思想,迭代法 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 化整为零（离散化） 外推法（加速）,好算法的三个标准：,快 计算步骤少，收敛速度快 准 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题),快:计算步骤少，收敛速度快,例2 多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7),给定x的值，计算 的值。,算法1：按自然顺序计算,乘法次数,加法次数 n,算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）,乘法次数加法次数 n,例3 解线性方程组,算法1: Cramer法则,乘除法次数An,(万年),算法2: Gauss消去法,乘除法次数：,耗时：,(秒),例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式； 非线性方程求根，Newton法比二分法快。,例4 如FFT(快速傅立叶变换),零乘一个数省去,2. 准:数值稳定性好，计算结果可靠性高,例6 求根 ，假设计算机有尾数为5位，,算法1:,算法2:,例7 计算积分,由分部积分法可得,取迭代初值,由递推公式,计算得,算法1: 直接积分,算法不稳定，结果不可靠。,而,可见递推计算结果严重失真。,取,将迭代格式 变形成如下格式,计算结果相当好,算法2 易知,算法稳定，结果可靠。,1) 稳定性:,若一种算法的初始误差和舍入误差在运算 过程中不增长，则称此算法是稳定的。,2) 误差分析,算法1,记,则,误差逐渐增大，(*)式不稳定,算法2,记,则,误差没有增大，算法稳定.,所以,为了“准”，要注意的原则,1. 防止大数吃小数,利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数, 算法1：,先解出 再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109, 算法2：,如1: 在五位十进制计算机上计算,解,2. 防止相近的数相减,例9,解决办法:, 通常情况下：,当 | x | 1 时：,3. 防止绝对值很小的数做分母,例10,2 误差的来源和基本概念,模型误差, 观测误差, 截断误差,舍入误差,1 截断误差,也称为方法误差,涉及方法的收敛性.,2 舍入误差,由计算机的浮点运算产生,涉及方法的稳定性.,如：用3.14159近似代替,则产生的误差 R =-3.14059=0.0000026为舍入误差.,二 基本概念,假设x为准确值，x*为近似值，则,绝对误差：,绝对误差限：,相对误差：,相对误差限：,三 有效数字,例11,解,2位,2位,4位,3位,四 有效数字与误差限的关系,1 有效数字与绝对误差限的关系,2、有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,已知 x* 的相对误差限可写为 则,可见 x* 至少有 n 位有效数字。,例13 为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效 数字？,解 假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。,只要取n3即可，即3位有效数字。,例14 要使 的近似值相对误差小于0.1%，应取几 位有效数字？,解,例15,有十个复根.,4 灵敏度分析,灵敏度分析是分析一个数学问题原始数据的微小变化对其解的扰动 情况。如果引起解发生较大的变化，则称该问题是病态的，否则称该 问题是良态的。它反映了解对原始数据的敏感程度。,抗干扰能力强 良态的方程组,抗干扰能力弱 病态的方程组,问题：如何估计误差向量的大小