《固体物理学》概念和习题.pdf

固体物理基本概念和思考题： 1. 给出原胞的定义。 2. 给出维格纳-赛茨原胞的定义。 3. 二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标） 。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、 声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及 光学支、声学支各自的振动特点。 （晶体含 N 个原胞，每个原胞含 p 个原子，问该晶体 晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下， 布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关 系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 37. 什么叫费米液体？ 38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。 39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。 40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。 41. 请列出铁磁性固体的主要特征。 42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。 43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？ 44. 请说明 Debye 热容量模型的基本假设， 为什么说 Debye 热容量模型在低温下是正确的？ 45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似？ 46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？ 47. 什么是 n 型半导体和 p 型半导体？什么是本征半导体？ 48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。 固体物理学习题 固体物理学习题 注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢 q 的定义（q=1/）与课堂上所用 的波矢 k 相差 2 （k=2/） ； 另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与 国际单位制之间的转换 注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢 q 的定义（q=1/）与课堂上所用 的波矢 k 相差 2 （k=2/） ； 另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与 国际单位制之间的转换 1. 在 14 种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？ 2. 在六角晶系中常用 4 个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面 族中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴a1,a2,a3上的截距为： a1/h,a2/k,a3/i, 第 4 个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l) 表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(133)(110)(323)(100)(010)(123)。 c a1 a2 a3 3. 证明理想六角密堆积结构的 c/a 比是3/8=1.633， 如果 c/a 值比这个值大得 多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 4. 在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的 原子面密度最大？ 5. 如图的两种正六边形（边长为 a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应 如何选取其基矢和原胞？ 有心正六边形： 无心正六边形： 6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为： y a x a a )v 22 3 +=；y a x a b ) v 22 3 +=；zcc )v =； （1） 证明：原胞的体积是ca 2 2 3 ； （2） 证明：倒易点阵的基矢是： ; 2 , 2 3 2 , 2 3 2 z c Cy a x a By a x a A ) v ) v ) v =+=+=因此直接点阵就是它本身的 点阵，但轴经过了转动； （3） 描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。 7. 证明第一布里渊区的体积是 c V 3 )2( 此处Vc是晶体初基晶胞的体积。 8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个 原子组成； （1） 给出这个基元的结构因子； （2） 求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足 h+k+l=4n, 且所有指数都是偶数，n 是任何整数；否则所有指数都是奇数。 体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几 个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件 9. 如果 a 表示晶格常数， 表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简 单立方晶格， 2 1 222 )( 22 sinlkh a += 式中（h k l）为密勒指数， 为入射光波 长。 10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100） ， （110） ， （111）面上的 原子排列。 11. 若一晶体的总互作用能可表示为： += nm rr N rU 2 )( ，试求： （1） 平衡间距r0； （2） 结合能 W； （3） 体弹性模量； （4） 若m=2,n=10,r0=3,W=4eV,求、的值。 12. (黄昆教材 2.6)用雷纳德-琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结 合能之比。 13. (黄昆教材 2.7)对于H2，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为： =50 10 -23J， =2.96， 计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的 结合能。(A12=12.13, A6=14.45) 14. (固体物理习题集 1.15 和黄昆教材 1.11) 证明六角晶体的介电常数张量为 2 2 1 00 00 00 15. (固体物理习题集 2.1) 设两原子间的互作用能可表示为： nm rr ru +=)( 式中，第一项为引力能； 第二项为排斥能；、均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态， 必须nm。 16. (固体物理习题集 2.2) 设两原子间的互作用能可由： nm rr ru +=)(表述。若m=2,n=10，而且两 原子构成稳定的分子，其核间距离为：310-10m，离解能为 4eV,试计算： （1） 和 ； （2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距； （3）使原子间距比平衡距离减少 10%时所需要的压力。 17. (固体物理习题集 2.11) 有一晶体，平均每对离子的互作用能为： R e R A Ru n n 2 )(= 式中，R是最 近邻离子间距；是马德隆常数；、An为常数。若n=10, =7.5,平衡时最近邻距 离R0=2.8110-10m。求由 2N=21022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用 能。 18. (固体物理习题集 2.21) 设LiF晶体(NaCl结构)的总互作用能可写成：U= 2 N (Ze-R/-e2/R)， 式中， N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距； 是马德隆常数；、为参量。求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性 模量B的表达式。 19. (固体物理习题集 2.32) 设NaCl晶体的互作用能可表示为：U(R)= 2 N (e2/R-Ae-R/) 式中的N、R、 、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。实验 测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.8210-10m，体积弹性模量 K=2.41011dyn/cm2,已知NaCl结构的马德隆常数=1.7476，试求NaCl晶体的排 斥核半径和排斥能参数A。 20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为 R0。试证： (1)该晶体的马德隆常数为 2ln2。 (2)自然平衡状态下的结合能为Eb(R0)= 22 4 1 1 2 00 Nq Rn ln 。 -q +q -2R0 -R0 0 R0 2R0 21. (固体物理习题集 3.5) 已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为： g()= N2 ( m2-2)-1/2 式中m是格波的最高频率。 求证它的振动模总数恰好等 于N。 22. (固体物理习题集 3.8) 设有一维原子链（如图） ，第 2n 个原子与第 2n+1 个原子之间的恢复力常数 为 ，第 2n 个原子与第 2n1 个原子之间的恢复力常数为 （0) (1) 已测得带顶电子的有效质量 2 2 * 2a m h =, 试求参数 A; (2) 试求能带宽度； (3) 试求布里渊区中心点附近电子的态密度。 44. (固体物理习题集 7.13) 设vF, F分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g(EF)为费米能级处的状 态密度，证明：对于球形费米面的情况，电导率 =e2 vF2F g(EF)/3 45. (固体物理习题集 8.1) 证明： 在一给定温度下， 当电子浓度n=ni(h/e)1/2， 空穴浓度p=ni(e/h)1/2时， 半导体的电导率为极小。这里ni是本征载流子浓度，e和h分别为电子和空穴的 迁移率。 46. (固体物理习题集 8.27) 实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应。已知锗中电子迁移率为 3500cm2/Vs，空穴迁移率为 1400cm2/Vs，问电子电流在该样品的总电流中所 占的比例等于多少？ 47. (黄昆教材 4.12) 设有二维正方晶格，晶体势场为 =y a x a UyxU 2 cos 2 cos4),( 用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角（/a,/a） 处的能隙。(本题类似于基特尔教材（7.6）) 48. (黄昆教材 5.1) 设有一维晶体的电子能带可以写成 +=kaka ma h kE2cos 8 1 cos 8 7 )( 2 2 其中，a 是晶格常数，试求： （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 状态的速度； （3）能带底部和能带顶部的有效质量。 49. (黄昆教材 5.2) 晶格常数为 2.5的一维晶格，当外加 102V/m和 107V/m电场时，试分别估 算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。 50. (黄昆教材 5.6) 若已知E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，导出k0 点上的有效质量张量，并找 出主轴方向（使用空间旋转矩阵） 。 51. (黄昆教材 6.1) He3的自旋为 1/2，是费米子。液体He3在绝对零度附近的密度为 0.081g/cm3。计算费米能EF和费米温度TF。 52. (黄昆教材 6.3) 若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量： （1）费米能和费米温度； （2）费米球半径； （3）费米速度； （4）费米球面的横截面积； （5）在室温及低温时电子的平均自由程。 银的密度等于 10.5 g/cm3， 原子量等于 107.87， 电阻率等于 1.6110-6cm （在 295K）0.03810-6cm（在 20K） 。 53. (黄昆教材 7.1) InSb的电子有效质量me=0.015m（m为电子静质量） ，介电常数=18，晶格 常数a=6.479，试计算： （1）施主的电离能； （2）基态的轨道半径； （3）若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主 杂质浓度应高于多少？ 54. (黄昆教材 7.3) 已知Si中只含施主杂质ND=1015/cm3。现在 40K下测得电子浓度为 1012/cm3，试估算施主杂质的电离能。 55. (黄昆教材 7.4) 某一N型半导体电子浓度为 11015/cm3，电子迁移率为 1000cm2/Vs，求 其电阻率。 56. (基特尔教材 4.5) 孔氏异常（Kohn anomaly） ：假定晶面运动方程)( = + p spsps uuCF中平 面力常数Cp取如下形式 pa apk ACp 0 sin =，其中A和k0是常数，而p遍取所有的整 数 值 。 这 种 形 式 是 对 于 金 属 的 预 期 结 果 。 利 用 这 个 公 式 和 式 )cos1 ( 2 0 2 pKaC M p p = 求出2和2/K的表达式，证明K=k0时，2/K是无 穷大，于是在k0处2对K或对K的图形有一条垂直的切线：即在k0处色散关系 （K）有一个扭折。 （W. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393 曾预言了与此有关的 一个效应。 ） 57. (基特尔教材 7.2) 约化能区中的自由电子能量。 （a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约 化能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的 k 都变换到 第一布里渊区内。 粗略绘出111方向上的所有能带的能量， 直至相当于布里渊区 边界 k=(2/a)(1/2,1/2,1/2)处的最低带能量的 6 倍。 就令这个能量为能量的单位。 这个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。当考虑到晶体势场时，有 几个简并（能带交叉）被消除。 58. (基特尔教材 7.4) 金刚石结构中的势能。 （a）试证对于金刚石结构，在G=2A时，一个电子所 感受的晶体势场的傅立叶分量UG为零， 其中A是惯用立方晶胞的倒易点阵中的基 矢。 （b)证明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量A末端垂直的布 里渊区边界面上的能隙为零，并且证明在二级近似中该能隙不为零。 59. (基特尔教材 7.6) 正方点阵。考虑在二维情况