药学高数12不定积分的概念.ppt

第三章 不 定 积 分,第一节 不定积分的概念 一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质,一、不定积分的概念 定义3-1 设函数 F(x) 和 f (x) 都在区间 I 上有定义， 如果满足 F (x) = f (x) , xI 则称函数 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数 ( primitive funtion )。 例如 , x(- , +) , 故 是 x 在区 间 (- , +) 上的一个原函数，易见 （C 为任意常数）也是 x 在区间 (- , +) 上的原函 数。,例如 , x(- , +) , 故 是 e -2x 在区间 (- , +) 上的原函数，易见 （C 为任意常数）也是 e -2x 在区间 (- , +) 上的原函 数。 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 原函数的全体如何表示?,定理3-1 设函数 F(x) 为在区间 I 上的一个原函数， 则 （1）F(x)+C 也是 f (x) 的原函数，其中 C 为任意常 数。 （2） f (x) 的任意两个原函数之间相差一个常数。 （3） f (x) 的任意一个原函数都可以表示为 F(x)+C ，其中 C 是任意常数。,定义3-2 设函数 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函 数 , f (x) 在区间 I 上的所有原函数 F(x)+C 称为 f (x) 的不定积分 ( indefinite integral ) 。记作 由此可知,求 f (x) 不定积分只需求出 f (x) 一个原函 数 , 再加上任意常数 C 。,不定积分的几何意义：如果 函数 F(x) 为 f (x) 的一个原函 数，则称 F(x) 的图像是 f (x) 的一条积分曲线 ( integral curve) 。 函数 f (x) 的不定积分表示 f (x)的某一条积分曲线沿纵轴 方向任意地平行移动所得到的 所有积分曲线组成的曲线族。 如果在每一条曲线上横坐标 相同的点处作切线，则这些切 线都具有相同的斜率即互相平 行。,例3-1 求 解 由于 ，故 是 的原函数，由 不定积分定义，得 例3-2 求 解 由于 (-cos x)=sin x , 故 -cos x 是 sin x 的原函数， 由不定积分定义，得,例3-3 求 解 由于 ，故 arcsin x 是 的原函数，由不定积分的定义，得 例3-4 求过点 (1 , 4) 且切线斜率为 x 的曲线的方程。 解 设所求曲线方程为 y =f (x)。依题意得 f (x)=x 由于 是 x 的一个原函数，故 把点 (1 , 4) 代入函数 中，得 C =7/2 所求曲线为,二、基本积分公式 (常简写为 ) (-1, 为任意常数),三、不定积分的性质 性质1 证 由导数运算法则，得 因此 是 的原函数。故,性质2 ，k 为常数。 证 因为 因此 是 的原函数，即有 性质 1 和性质 2 称为不定积分的线性性质，综合性 质 1 和性质 2 可得下面式子：,例3-5 求 解,例3-6 求 解 例3-7 求 解,例3-8 求 解 例3-9 求 解,例3-10 求 解 例3-11 求 解,例3-12 求 解 例3-13 求 解,例3-14 求 解,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,1. 若,