机械工程控制基础简介

目录第一章 自动控制系统的基本原理第一节 控制系统的工作原理和基本要求第二节 控制系统的基本类型第三节 典型控制信号第四节 控制理论的内容和方法第二章 控制系统的数学模型第一节 机械系统的数学模型第二节 液压系统的数学模型第三节 电气系统的数学模型第四节 线性控制系统的卷积关系式第三章 拉氏变换第一节 傅氏变换第二节 拉普拉斯变换第三节 拉普拉斯变换的基本定理第四节 拉普拉斯逆变换第四章 传递函数第一节 传递函数的概念与性质第二节 线性控制系统的典型环节第三节 系统框图及其运算第四节 多变量系统的传递函数第五章 时间响应分析第一节 概述第二节 单位脉冲输入的时间响应第三节 单位阶跃输入的时间响应第四节 高阶系统时间响应第六章 频率响应分析第一节 谐和输入系统的定态响应第二节 频率特性极坐标图第三节 频率特性的对数坐标图第四节 由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章 控制系统的稳定性第一节 稳定性概念第二节 劳斯判据第三节 乃奎斯特判据第四节 对数坐标图的稳定性判据第八章 控制系统的偏差第一节 控制系统的偏差概念第二节 输入引起的定态偏差第三节 输入引起的动态偏差第九章 控制系统的设计和校正第一节 综述第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制第三节 校正方法与校正环节第四节 控制系统的增益调整第五节 控制系统的串联校正第六节 控制系统的局部反馈校正第七节 控制系统的顺馈校正 第一章 自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。第一节 控制系统的工作原理和基本要求一、 控制系统举例与结构方框图例1 一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C,利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。图1 人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。 图2例2 图示为液面高度控制系统原理图。试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，可保持液面高度稳定。 图3 图4 图5结构方块图说明：1.信号线：带有箭头的直线（可标时间或象函数）U(t),U(s)； 2.引用线：表示信号引出或测量的位置； 3比较点：对两个以上的同性质信号的加减运算环节； 4方 框：代表系统中的元件或环节。 方块图中要注明元件或环节的名称，函数框图要写明函数表达式。二控制系统的组成1给定环节：给出输入信号，确定被控制量的目标值。2比较环节：将控制信号与反馈信号进行比较，得出偏差值。3放大环节：将偏差信号放大并进行必要的能量转换。4执行环节：各种各类。5被控对象：机器、设备、过程。6测量环节：测量被控信号并产生反馈信号。7校正环节：改善性能的特定环节。 三控制系统特点与要求1目的：使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化。2过程：即“测量对比补偿”。 或“检测偏差纠正偏差”。3基本要求：稳定性 系统必须是稳定的，不能震荡； 快速性 接近目标的快慢程度，过渡过程要小； 准确性 第二节 控制系统的基本类型1开环变量控制系统（仅有前向通道） 图62闭环变量控制系统开环系统：优点：结构简单、稳定性能好；缺点：不能纠偏，精度低。 闭环系统：与上相反。 第三节 典型控制信号 输入信号是多种多样的，为了对各种控制系统的性能进行统一的评价，通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号，并提出统一的性能指标，作为评价标准。 1阶跃信号 x(t)=0 t0 X(t)=A t0图7当A=1时，称为单位阶跃信号，写为1（t）。 阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用，相应的过渡过程称为阶跃响应。2脉冲函数数学表达式 x(t)=A/T 0tT X(t)=0 其它 图8脉冲函数的强度为A，即图形面积。单位脉冲函数（函数）定义为(t)=1(t)性质有: (t)=0 t0 (t)= t0 且 图9强度为A的脉冲函数x(t)也可写为x(t)=A(t)必须指出，脉冲函数(t)在现实中是不存在的，它只有数学上的意义，但它又是很重要的很有效的数学工具。3斜坡函数（恒速信号） x(t)=At t0 x(t)=0 t0 图10在研究飞机系统时，常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程。4恒加速信号 x(t)=At2/2 t0 x(t)=0 t0 图11在研究卫星、航天技术的系统时，常用恒加速信号作为外作用来评价过渡过程。5正弦函数（谐波函数、谐和信号） x(t)=xm.sin(t+) t0 x(t)=0 t0-图126延时函数（信号） f(t)=x(t-) tf(t)=0 t0 图137随机信号（使用白噪声信号代替）第四节 控制理论的研究内容和方法一经典控制理论1主要内容： 分析掌握系统的特性，进行系统性能的改善； 实验对系统特性和改善措施进行测试； 综合按照给定的静态、动态指标设计系统。 2方法 时域法以典型信号输入，分析输出量随时间变化的情况； 频域法以谐和信号输入，分析输出量随频率变化的情况； 根轨迹法根据系统的特征方程式的根，随系统参数的变化规律来研究系统（又称图解法）。 二现代控制理论 1引入状态空间概念； 2动态最佳控制； 3静态最优控制； 4自适应和自学习系统。 图14 瓦特调速器第二章 控制系统的数学模型为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系，必须建立数学模型。这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型。 第一节 机械系统的数学模型1.机械平移系统（应用牛顿定律）F=0, F=mF(t)-c-kx=m 或 F(t)-Fc(t)-Fk(t)=mFc(t)=阻尼器产生的阻尼力，为c(t)Fk(t)=弹性恢复力， 为kx(t) 整理：m+c+kx=F(t) 2机械旋转系统J(t)+c(t)+k(t)=M(t) J转动惯量 c阻尼系数 K刚度系数 图14 图153机械传动系统参数的归算机械系统的运动形式：旋转运动、直线运动。机械系统的组成元件：齿轮、轴、轴承、丝杠、螺母、滑块等。对一个复杂的大系统，必须把各部件参数归算到同一部件上。在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性恢复力称为当量参数。如何归算？采用单因素法。31 惯性参数的归算1转动惯量的归算将图示系统中的J1、J2和J3归算到a轴上。 图16 列各轴力矩平衡方程式：a轴： M=J1+ Mb-ab轴： Ma-b=J2+ Mc-bc轴： Mb-c=J3Mb-a负载力矩；Ma-b是b轴的主动（驱动）力矩。列关系式： =，同理 力相等关系由线速度相等关系： 1=2 得，同理， 代入各关系式，得 M(t)=M=J1+J2()2+J3()2= Ja Ja称为归算到a轴上的归算转动惯量。 推之，对于系统有n个轴，归算到a轴时， Ja = Ui是从a轴到第i轴的总速比，即主动齿轮齿数积/被动齿轮齿数积。2移动质量归算为转动惯量列运动平衡方程式丝杠：M=J+M1 滑块: F=m=F轴式中：M1是滑块作用于丝杠的力矩； F轴是丝杠作用于滑块的轴向力。为求M与F之间的关系,列关系式,把丝杠按D展成平面。tg=F周/F轴=S/D由关系式 F周=M1, 则F轴=F=根据运动关系 =代入到M=J+M1中，整理后得 M=J+m()2=J J=J+m ()2 图17图18第二节 液压系统的数学模型分析思路（见图19）：划分为两个环节。滑阀： 输入量 xi(t) 输出量 (t)（中间变量） 液压缸：输入量 (t) 输出量 xo(t)建立各元件方程式 图191、滑阀流量方程式(t)=fxi(t), , 其中= 压强差流量(t)是阀芯位移xi(t)函数，同时又是负载压强差的函数，具有非线性关系。如果把非线性问题线性化，这是考虑在额定工作点附近可展成泰勒级数办法，则 (t)=kqxi(t)-kp (1)其中kq是流量增益系数，kp是压力影响系数。（1）式是根据试验数据修正而来。2、液压缸工作腔液体流动连续方程式(t)=Ao(t)+kt+ (2)A工作面积，kt漏损系数，V液体体积压缩率，弹性模量。在不考虑液体的的可压缩性，又不考虑泄漏，（2）式可简化为(t)=Ao(t) （3）3、液压缸负载平衡方程式A=mo(t)+co(t)+kxo(t)+F(t) (4)若自由状态，即F(t)=0,则A=mo(t)+co(t)+kxo(t) （5）4、系统的运动方程式消去中间变量和(t)，得 mo(t)+co(t)+（k+A2/(t)=Akqxi(t)/kp (6)若外部系统阻尼、刚度系数不受影响，即c=0,k=0,惯性力不考虑。 则 kqxi(t)=Axo(t) (7) 这是来多少油出多少油的关系式。第三节 电气系统的数学模型1.阻容感网络系统图20 由基尔霍夫第一定律（封闭系统） Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0Ui(t)-Ri(t)-L=0=L+R+ 二阶微分方程2放大器网络系统图211）比例运算放大器 由ij(t)=0 i1(t)=i2(t)+i3(t)因为放大器内阻很大，i3(t)0，于是有i1(t) i2(t)即 =i1(t)=i2(t)= （引入：Uo(t)=-UA=-(104-106)UA 由于 很大,UA0） UO(t)=(1+)UA(t)- Ui(t) 2）积分运算放大器图22 同前分析过程。i1(t)=;U0(t)= 由i1(t) i2(t)而来 输出与输入之间存在积分关系。3）微分运算放大器图23由Ui(t)=得i1(t)=ci2(t)= ,由 i1(t) i2(t) 关系式，得U0(t)=R2C输出与输入之间存在微分关系。 第四节 线性控制系统的卷积关系式为建立输出与输入之间的关系，常利用卷积关系式。一.线性控制系统的权函数 图24 设图示系统，任意给输入量xi(t)，输出量为xo(t)。当xi(t)=(t)，即为单位脉冲函数，此时的输出（也称为响应）xo(t)记为h(t)。h(t)称为系统的单位脉冲响应或称为权函数。若输入脉冲发生在时刻，则(t)和h(t)曲线都会向右移动，形状不变。图25-1即 xi(t)= (t1)，对应的xo(t)= h(t1)， 其中 t1=t-定义：(t-)= t+t (t-)=0 其它这里(t)t，t=t二、任意输入响应的卷积关系式当xi(t)为任意函数时，可划分为n个具有强度Aj的脉冲函数的叠加，即图25-2图25-3Xi（t）=其中 Aj=xi（jt）. t =面积=强度在某一个脉冲函数Aj(t-jt)作用下，响应为Ajh(t-jt)。系统有n个脉冲函数，则响应为：xo(t)=当n时，nt，j. t=，t=dxo(t)= 卷积关系式上式说明“任意输入xi(t)所引起的输出xo(t)等于系统的权函数h(t)和输入xi(t)的卷积”。三、卷积的概念与性质定义：若已知函数f（t）和g（t），其积分存在，则称此积分为f（t）和g（t）的卷积，记作。性质：1、交换律 =证明：令t-=t1 d=-dt1 （=t-t1）= = （左=右，变量可代换）证毕。2、分配律 3、若t0时，f（t）=g（t）=0，则 = f（t）输入；g（t）系统；x0（t）输出 x0（t）= 四卷积积分的图解计算积分上下限的确定：下限 取f（）和g（t-）值中最大一个；上限 取f（）和g（t-）值中最小一个。 图26 第三章 拉普拉斯变换 第一节 傅氏变换（傅立叶变换）一、 傅氏级数的复指数形式（对周期函数而言，略讲）二、 非周期函数的傅氏积分 非周期函数f（t）可以看作是T周期函数fT（t），即 f（t）=， 若f（t）在上满足：1、在任一有限区间上满足狄氏条件（10 连续或只有有限个第一类间断点；20 只有有限个极值点）；2、在上绝对可积（收敛）。f（t）= 非周期函数的积分式 三、傅氏变换1、傅氏变换概念 在傅氏积分式中，令 t是积分变量，积分后是的函数。称 F（）=Ff（t）傅氏变换 f（t）=F-1F（）傅氏逆变换2、傅氏变换的缺点说明10 条件较强，要求f（t）绝对收敛。做不到。例如，1（t）、Asint，它们的积分均发散，即Ff（t）不存在，无法进行傅氏变换。20 要求f（t）在有意义，而在实际中， t0常不定义。解决的办法： 10 将f（t）乘以收敛因子e-t 使积分收敛（0）；20 将f（t）乘以1（t），使当t0时，函数值为零。可将积分区间由换成。于是傅氏变换变形为拉氏变换Lf（t）：Lf（t）=其中 S=复变量。成立的条件是 Re（s）=0经过处理，能解决大部分工程上的问题。这就是Laplace变换(F.L.Z.H.W.X).第三节 拉普拉斯变换(Laplace)一. 定义: 1.若t0时,x(t)单值;t0则称 X(s)= 为x(t)的拉氏变换式,记作 X(s)=Lx(t) X(t)=L-1X(s) 拉氏逆变换 二. 举例 1. 脉冲函数(t)的拉氏变换 L(t)=1 2. 单位阶跃函数x(t)=1(t)=1的拉氏变换 X(s)=L1(t)=, Re(s)0 即0 3x（t）=，常数 =L= Re(s)0 即 4、x（t）=sint，常数 =Lsint= = Re(s)0 5X（t）=tn 幂函数的拉氏变换 利用伽玛函数方法求积分。 =L（tn）= 函数标准形式 令st=u，t= tn=s-nun dt=du，则 = 若n为自然数，X（s）=L（tn）= Re(s)0 比如：x（t）=t， = x（t）=t2 ， = x（t）=t3 ， =第三节 拉氏变换的基本定理与傅氏变换的定理差不多，但有的定理不相同，同时比傅氏变换定理多也许一些。1、线性定理（比例和叠加定理）若Lx1（t）=X1（s）， Lx2（t）=X2（s） Lk1x1（t）+k2x2（t）=k1X1（s）+k2X2（s）例题 x（t）=at2+bt+c=Lat2+bt+c=aL（t2）+bL（t）+cL（1） = Re(s)02、微分定理 若Lx（t）=X（s），则L（t）=s2X（s）-x（0） x（0）是x（t）的初始值，利用分部积分法可以证明。推论：L 、 、 Lx（n）（t）=snX（s）-sn-1x（0）-、x（0）（n-1） 注意大小写， 小写为时间函数。 若初始条件全为零，则 Lx（n）（t）=snX（s）3、积分定理若Lx（t）= ，则L=推论：L= 4、衰减定理（复数域内位移性质） 若Lx（t）= ，则L=表明原函数乘以指数函数的拉氏变换，等于象函数做位移。例题 x（t）= 因 L=，则=L= 5、延时定理（时间域内位移性质）若 Lx（t）= ，t0时，x（t）=0，则 Lx（t）= 、在时间域内延迟（位移），行动于它的象函数乘以指数因子。图27 6、初值定理若 Lx（t）=X（s），且存在，则 它建立了x（t）在坐标原点的值与象函数s在无限远点的值之间的对应关系。表明，函数x（t）在0点的函数值可以通过象函数乘以s，然后取极限值而获得。 7、终值定理 若Lx（t）= ，且存在，则8、卷积定理 若Lx（t）= ，Ly（t）= ，则L=.第四节 拉氏逆变换 已知象函数X（s）求原函数x（t）的运算称为拉氏逆变换，记作 x（t）=L-1 推导过程略。 这是复变函数的积分公式，按定义计算比较困难。其一是查表法（略）；其二是变形法；第三是配换法；第四是分项分式法。这里简单介绍第二项，着重讲第四项。 一、变形法 （要利用好各个性质）例1 已知=，求x（t）解：s变量中有位移量a，原函数中必有衰减因子e-at，原本是1（t），现在是e-at.1（t）= e-at例2 X（s）=，求x（t）解：s变量中有位移a，x（t）中必有衰减因子e-at；X（s）中有衰减；x（t）中的时间t必有位移。 对于的逆变换是第一步变形 原函数乘以衰减因子e-at，得x（t）1 =e-at第二步变形 t位移，即（t-），得 X（t）2=x（t）=二、分项分式法若X（s）为有理分式，即 = （nm）分母多项式Qn（s）具有个重根s0和个单根s1s2，显然n=+，则分母多项式Qn（s）=Si是实数也可能是虚数，是Qn（s）的零点，又是X（s）的极点。可化成： 在分项分式中，k0i、kj均为常数，称为的各极点处的留数。对于各个单项，则 K如何求得？ 留数的求解1、比较系数法例：= s=0，-3，-4为三个单极点。= 通分联立方程： 1=a+b+c 4=7a+4b+3c 2=12a解得 a=2、极限法（留数规则） 10单极点处的留数 （相对比较系数法简单一些） 若S是X（s）的分母多项式Qn（s）的一个单根，称s= S 为的一个单极点。此时可设：=+是余项，其中不再含有S-S 的因子。可写成：（S-S）=K+（S-S）令sS，对等式两边取极限，可得K=例题： = k1= k2= k3= 毕20、重极点处的留数若s0是的分母多项式Qn（s）的一个重根，则称s=s0是一个重极点。在重极点处有个留数k01、k02、，此时可设=，W（s）中不含（s-s0）。=令 s，两边取极限，得为求，可对求阶导数，再令s，两边取极限，得例题： 已知 =，求其留数。解 （s）是三重极点，（是两重极点，（是单极点。 = =-1 =-2 =-3 =-2 =2 =1第四节 常系数线性微分方程的拉氏变换解微分方程 L变换 象函数的代数方程原函数的微分方程 L-1逆变换 象函数例题：求的解，并满足初始条件； 解：L变换 = 代入初始条件，求解代数方程。 L-1逆变换 毕 第四章 传递函数 第一节 传递函数的概念与性质一、传递函数的概念 对于单输入、单输出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。 原函数描述的系统： 输入xi（t） 系统h（t） 输出x0（t）以象函数描述的系统：输入Xi（s） 系统G（s） 输出X0（s）传递函数为：传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型 二、传递函数的一般形式 线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为： 其中a0、a1。an，b0、b1。bm均为实常数。对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。 传递函数具有以下三种常用形式： 型 型 型 其中，型中，sb1、sb2、sbm是G（s）的零根，sa1、sa2、san是G（s）的极点，也是分母多项式的根。这些根可以是单根、重根、实根或复根。若有复根，则必共轭复根同时出现。型中，kl称为环节增益；是环节的时间常数；是环节的阻尼比。以上均为实常数，且，。在分子、分母多项式中，每个因式代表一个环节。其中每个因式确定一个零根；每个因式（）确定一个非零实根；每个因式确定一对共轭复根。三、传递函数的性质1、传递函数只决定于系统的内在性能，而与输入量大小以及它随时间的变化规律无关。2、传递函数不说明系统的物理结构，只要动态性能相似，不同的系统可具有同形式的传递函数。3、分母的最高阶次为n的系统称为n阶系统。实用上nm。4、s的量纲为时间的倒数，G（S）的量纲是输出与输入之比。5、所有系数均为实数，原因是：“它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数”。第二节 线性控制系统的典型环节控制系统都是由若干个环节组合而成，无论系统多么复杂，但所组成的环节仅有几种，举例说明。一、比例环节 传递函数G（s）=K例： (机械系统，不考虑弹性变形)图a(液压系统，不考虑弹性变形，可压缩性和泄漏)图b图c图4-1 比例环节G（s）= g（t）=A.V（t） G（s）=u（t）=R.i（t） G（s）=二、积分环节传递函数的标准形式：G（s） 一阶系统 G（s）= 二阶系统例：电感电路系统 i0（t）= i0（t）输出；ui（t）输入L变换 I0（s）= G（s）= 这里三、惯性环节一阶惯性环节的传递函数标准形式：例：阻容电路 K=1，T=RC四、振荡环节传递函数标准形式：其中 K 比例系数，阻尼比， T 周期，无阻尼自由振动固有角频率。例1：质量弹性阻尼系统 输入f（t），输出x（t） 运动方程： L变换： =其中，例2：阻容感电路（RCL电路）*引人复阻抗概念 L变换 L变换 L变换 复阻抗，又称为复数域的欧姆定律。 见题图 得 其中，需要注意的是，只有当的特征方程具有一对共轭复根时，系统才能称为振荡环节。否则，称为二阶惯性环节。即五、放大器模拟电路举例（第二章已说过 ）通式：1、若 比例环节2、若 积分环节3、若 微分环节 4、若 一阶惯性环节 5、若 二阶导前环节 第三节 系统框图及其运算系统有很多环节组成，相互之间如何运算？框图又如何运算？一、系统框图的联接及其传递函数1、串联 2、并联 = 对于n个系统 3、反馈联接 Xi（s）输入信号 X0（s）输出信号= E（s）.G1（s） E（s）偏差信号= Xi（s） B（s） B（s）反馈信号=H（s）. X0（s） 10、前向传递函数 20、开环传递函数 30、闭环传递函数整理得：二、框图的变换变换的目的：将复杂联接的框图，进行等效变形，使之成为仅包含有串、并、反馈等简单联接方式，以便求算系统的总传递函数。1、汇交点的分离、合并与易位2、汇交点与分支点易位3、汇交点与方框易位4、分支点与方框易位 第四节 多变量系统的传递函数一、有干扰作用时系统的输出由于是线性系统，可单独考虑输入与干扰的作用。1、仅有输入作用，即=0时。 前向通道传递函数=系统传递函数2仅有干扰作用，即=0时。前向通道传递函数=系统传递3、输入和干扰同时存在的总输出 二、双自由度弹簧、阻尼、质量系统输入和输出和。按质量可分两个隔离体。 或者写成L变换或简写成H= 两边同左乘H-1G是传递矩阵，是伴随矩阵。 第五章 时间响应分析（时域分析法） 第一节 概述 一、时间响应概念 这是设备性能测试的一种方法，即在典型信号作用下，对系统的输出随时间变化情况进行分析和研究。二、时间响应的组成（瞬态、稳态）1、瞬态响应：从是系统进入理想状态的时间。此过程称为过渡过程。由于系统内总会有储能元件，输出量不可能立即跟踪上输入量,在系统稳定之前，总是表现出各种各样的瞬态过程。2、稳态响应：tst阶段的响应。三、时间响应分析的目的1、了解系统的动态性能和质量指标;2、作为设计，校正及使用系统的依据。四、方法利用传递函数来求算微分方程的解第二节 单位脉冲输入的时间响应输入信号：xi=，则=1；输出信号：x0，则=H=H=G一、一阶惯性环节的单位脉冲响应一阶惯性环节传递函数标准形式: G=输出：= G= G=（提示：L=，注意符号）时间响应（时域）=L=e是一个指数函数可根据单位脉冲响应，获知被测系统的传递函数（锤击）。由图可知，用两点坐标值可定出K和T。第五节 振荡环节的单位脉冲响应系统传递函数标准形式=按阻尼比的大小分析四种情况。1、无阻尼状态，即=0 = 时间响应：或者 2、欠阻尼状态，即01 （复习：衰减定理：；另外：）=时间响应 为衰减的正弦函数。无阻尼自由振动的角频率；为有阻尼自由振动的角频率。 3、临界阻尼状态，即=1 = 时间响应：= 是两个相同的一阶惯性环节的串联。 当t0，0，没有振动现象，称为蠕动。 4、过阻尼状态，1 = = 时间响应： 是两个不同的一阶惯性环节的串联，图形同上相似，蠕动。 第三节 单位阶跃输入的时间响应 输入信号：=1（t），则= 输出信号：=， 一、一阶惯性环节的传递函数： = （由分解因式（而来） 时间响应：= 归一化处理（因输入是单位阶跃函数） ，其中 通常认为：0t4T为瞬态响应，t4T为稳态响应。 二、振荡环节的单位阶跃响应 振荡环节的传递函数：= = 有无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼四种状态，着重分析欠阻尼。欠阻尼状态 ：01由上式的分母多项式，即时间响应： （） = = =归一化处理： =由于高阶系统常用一个二阶系统来近似，故有必要对二阶系统的动态性能指标进行推算和定义。1、峰值时间 来理：令，得又由：即 当n=1时是第一个峰，故2、峰值 3、稳态响应值 4、最大超调量%=%5、调整时间 人们定义，波动量误差在0.020.05之间，系统进入稳态区域，在此之前的时段称为过渡过程，其时间称为调整时间或过渡过程时间。公式为：若系数，则上式更能满足要求。则若=0.02，若=0.05，讨论 、与各性能指标间的关系 10 若不变， 不变，。此时有利于提高系统的灵敏度。即系统的快速性能好。20若不变， ，（0.707时） ，（0.707时） 若0.40.8，=0.242.5% 0.4 时，相对稳定性能差。 0.8时，、反应迟钝。 30当=0.707时， 均小，=0.4%。称=0.707为最佳阻尼比。例题、图为机械系统及其时间响应曲线（是由试验记录所得），输入=8.9N，求弹簧刚度系数k、质量m和阻尼系数c。解：输入是力，即=8.9N。L变换后，由左图，写出运动方程式。 L变换 式中由稳态响应K=0、03= 解得 由超调量%=%=%= =% 则由由由 第四节 高阶系统的时间响应若n阶系统传递函数的一般形式为：其中 给系统以单位阶跃输入，则 考虑 无重根的情况，此时可化为分项分式 =K 时间响应： K 分析： 1、或是一 些简单的函数组成，即由一些一阶和二阶环节的时间响应组成。其中一阶环节数为，为的实根数；二阶环节数为，为的共轭复根的对数。 2、若系统能正常工作，当，应为零或为有界值，为此必须： 10、mn，否则分项分式中存在整数项或sn项，其原函数不存在。举例说明： ，其中m=3。n=2，mn则 （补充说明数学定义：）在数学上有意义，实际中不存在，的导数及高阶导数不存在。物理意义：系统必然有质量、惯性，且能量又是有限的，不可能出现mn超能量系统。 20 即在中，s要具有负实根。 在中，一对共轭复根。 即 ，要具有负实部的根。 否则，当时，不存在。举例： 本例中 具有负实根。，具有负实部。 当 能恢复到零位。举例： 当 不存在。 30、在中实部绝对值较大根所在的项，对系统影响很小，可忽略不计。工程上常用此法使系统降低阶数。举例：则 当 忽略绝对值较大根所在的项，得 第六章 频率响应分析（频率特性分析）微分方程是时间域中的数学模型传递函数是复数域中的数学模型频率特性是频率域中的数学模型第一节 谐和输入时系统的定态响应一、谐和定态响应公式系统以谐和函数输入：设系统的传递函数为G，以S=代替，即G谐和传递函数输出：（幅值和相角在变化）其中：，是的模.同理：1若；则2若；则3若则二、谐和定态响应的性质输入：；输出：； 比较得：；由此得出以下结论：1.当系统以谐和时间函数信号输入时，系统的定态响应仍为谐合时间函数；2.响应函数与输入函数具有相同的角频率；3.响应函数与输入函数的幅值之比等于复变量的模称为幅频特性；4. 响应函数与输入函数的相位之差等于复变量的相位角称为相频特性；5.复变量的函数形式与传递函数相同，仅以替代s；6.与是且仅是输入信号频率的函数，而与其它因素无关。三、频率特性谐和输入传递函数谐和稳态输出 频率特性； 相频特性=；实频特性； 虚频特性。=； 若=则 为什么要对系统输入谐和函数？ 系统是由具体的结构元件组成，而结构元件有其自身的各阶固有频率，在力的作用下（任意力都可以展成富氏级数，是各谐和函数作用之和），若某个元件有故障，就有可能引起系统工作的不正常。故要在频率域内对系统进行研究。 第二节 频率特性极坐标图 频率特性的极坐标图，又称乃斯特图（Nyquist），是研究在复平面上，当从0变到时，矢量的端点所描述的轨迹图。由此图可以直观地了解系统的动态特性。 一、典型环节的极坐标图 1、比例环节 传递函数 （频率特性）谐和传递函数=K 其中=0，=K 对于输入，输出 2、积分环节 传递函数（令） 频率特性： = 幅频特性： = 相频特性： （滞后900） 定态响应： 3、微分环节 传递函数（令KT=1） 频率特性：=；=；=0；=；（超前900） 定态响应；4、二阶积分环节 传递函数 =-，=-，=0 =，（滞后1800） 定态响应；5、二阶微分环节 传递函数 =-2 ，=-2 =0， =2 ，（超前1800） 定态响应； 6、导前环节 传递函数 =1+jT ，=1，=T， =，7、一阶惯性环节 传递函数 =，=，=-， = 是圆的极坐标方程，由于0，只是半个圆图形。8、惯性积分环节 = ， 0，曲线在第3象限内。 寻找渐近线。即当0，=-T（直线），9、振荡环节 =（令K=1） 分析：随变化，由正0负，且0，曲线在第四、第三象限内。 起点： 过虚轴点： 终点： =10、延时环节 = =1，（单位圆）11振荡环节 二、极坐标曲线的一般形式 1、频率特性的一般形式 线性系统频率特性（谐和传递函数）一般形式为： = 幅率特性： = 相频特性： 其中 指分子、分母的阶数。 当、时，称系统为、型系统。 2、极坐标曲线的起始状况 当0时，有，同时 10、O型系统（=0） 起始于正实轴的（K，j0）点上。 20、非O型系统（0） 起始于无穷远处，且由实轴顺时针方向转过个象限。 3、极坐标曲线的终止状况 当时，有， 10、当nm时， 沿着某坐标轴趋向于原点，该坐标轴与正实轴的夹角为。 20、当n=m时，即终止于实轴上的有限点（A，0）。 4、K对极坐标图形的影响 设有两个系统， 则，= 10、增益K的变化仅仅使极坐标曲线按比例放大或缩小； 20、K值不同的两个系统，极坐标曲线同频率点的联线必过原点，这是因为该点与原点间的夹角相同。 第三节 频率特性的对数坐标图 问题的提出：有了极坐标图，何必需要对数坐标图（Bode波德图）？ 乃氏图存在的缺点： 10、绘制麻烦，需要很多点才能描绘曲线；20、不能明显地表示系统基本的组成情况；30、由极坐标图很难写出系统的传递函数。优点是可直观地了解系统的动态特性。 一、对数坐标图概念 设=，取自然对数，得 由两部分组成，各自都是的函数，可分别考虑。即由乃氏图的一张图改为两张图。考虑到人们常用的习惯，改用log。定义：L（）=Log=Lg幅频图。单位是“贝”，是两个信号的功率之比（这里考虑到功率与速度、电流、压强的平方成正比），即2=对数坐标图改为 单位还是贝。考虑的贝的单位过大，计算不方便，用“分贝”（dB）来表示。1贝=10分贝，故 单位是分贝 （这里的分贝是借用的概念，与专门作为计量单位的电平、声量的分贝不同） 既然是的函数，可直接用直角坐标系来描述。 对数坐标图的优点。 10、便于在较宽的频率范围内研究系统的频率特性。即，低频带得以拓宽，高频带得以压缩。纯线性坐标办不到； 20、可将幅值的乘积转化为相加，对于绘制由多个环节串联而成的系统，在图纸上可直接叠加； 30、可采用渐近线近似的作图方法，简化作图。接第六章 二、典型环节的对数坐标图 1. 比例环节 （1）K0时，（2）K0时，2一阶积分环节（）（1）K0时，；当=1时， 当=10时，全频带滞后9003二阶积分环节（），全频带滞后18004一阶微分环节（），5二阶微分环节（