重积分的概念与性质(28).ppt

一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,第十章 重 积 分,第一节 二重积分的概念与性质,一、二重积分的概念,例 1 曲顶柱体的体积.,设有一立体的底是 xy 面 上的有界闭区域 D，,侧面是以 D 的边界曲线为准线、,母线平行于 z 轴的柱面，,顶是由二元非负连续函数 z = f (x, y) 所表示的曲面. 这个立体称为 D 上的曲顶柱体.,试求该曲顶柱体的体积 .,1. 引例,D,称为子域：1, 2 , , n ,并以 i (i = 1, 2, , n)表示第 i 个子域的面积，,(1) 分割.,将区域 D 任意分成 n 个小区域，,然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、,母线平行 z 轴的柱面.,这些柱面就把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体.,解,曲顶柱体的体积,(2) 近似.,在每个小曲顶柱体的底 i 上任取一点 (i , i) (i = 1, 2, , n)，,用以 f (i , i) 为高、,i为底的平顶柱体的体积 f (i , i) i ，,近似替代第 i 个小曲顶柱体的体积，,即,Vi f (i ,i ) i .,(3) 求和.,将这 n 个小平顶柱体的体积相加，,得到原曲顶柱体体积的近似值，,即,(4) 取极限.,将区域 D 无限细分且每一个子域趋向于缩成一点，,这个近似值就趋向于曲顶柱体的体积，,即,其中 是这 n 个子域的最大直径,(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值).,例 2,设有一平面薄片占有 xy 平面上的区域 D，如图，,平面薄片的质量.,它的面密度(单位面积上的质量)为 D 上的连续函数 ( x , y ).,求该平面薄片的质量.,即其质量可近似看成是均匀分布的.,于是在 i 上任取一点 (i , i )，,第 i 块薄片的质量的近似值为,将薄片(即区域 D)任意分成 n 个子域 1 , 2 , , n ，,并以 i ( i = 1,2, ,n)表示第 i 个子域的面积 .,解,(1) 分割.,因此当 i 的直径很小时，,(2)近似,由于(x , y) 在 D 上连续，,这个子域上的面密度的变化也很小，,(4) 取极限.,当 n 个子域的最大直径 0 时，,上述和式的极限就是所求薄片的质量，,即,将这 n 个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，,(3) 求和.,即,2. 二重积分的定义,定义,设二元函数 z = f (x, y)定义在有界闭区域 D 上.,将区域 D 任意分成 n 个子域 i (i = 1, 2, , n),并以 i 表示第 i 个子域的面积.,在 i 上任取一点 (i ,i )，,作和,如果当各个子域的直径中的最大值 趋于零时，,此和式的极限存在，,则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分，,这时，,称 f (x, y)在 D 上可积，,其中 f (x, y)称为被积函数，,称为被积表达式，,d 称为面积元素，,D 称为积分域，,称为二重积分号.,记为,即,二重积分 的几何意义,就是曲顶柱体的体积；,柱体在 xy 平面的下方，,即 f (x , y)的绝对值在 D上的二重积分,才是该曲顶柱体的体积；,当 f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时,则二重积分 的值为,3. 二重积分的几何意义,xy 平面上方柱体体积之和减去下方柱体体积之差.,二、二重积分的性质,性质 1,被积函数中的常数因子,可以提到二重积分号的外面，,即,性质 2,函数的和(或差)的二重积分,等于各个函数的二重积分的和(或差)，,即,性质 3,如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2，,则在 D 上的二重积分,等于各子区域 D1、D2 上的二重积分之和，,即,这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .,性质4,如果在 D 上， f(x, y) = 1，,且 D 的面积为 ，,则,性质 5,如果在 D 上，,则,推论,函数在 D 上的二重积分的绝对值,不大于函数的绝对值在 D 上的二重积分.,即,性质 6,如果 M、m 分别是函数 f( x, y) 在 D 上的最大值与最小