数学学年论文毕业论文关于定积分一些重要性质的讨论.doc

数学分析论文学院：数学与统计学院班级：09数应1班姓名：xxx学号：xxx关于定积分一些重要性质的讨论摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。关键词：定积分 保序性 中值定理The discussion about some qualities of the definite integralAbstract: This paper introduces the qualities of keeping order and the first second median theorems, other important qualities and gives some examples to illustrate the application of the qualities. Key words: the definite integral the quality of keeping order the median theorem1引言：由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b）内取得。通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。2定积分重要性质及其应用2.1 保序性设f（x）在a,b上连续非负，且f（x）不恒为零，则0证明 若=0,由f(x)的连续性和非负性有:0=0 xa，b.从而0，即0，xa，b这与f（x）在a，b上不恒为零矛盾。定理得证。例1设f(x) 于0, 连续,且=0试证在(0,) 内至少存在两点, ,使得f( )=f( )=0证明 令F(t)= (0 t ), 则F(t) 于 0, 连续,且可导, 由罗尔定理,存在(0, ), 使 F()=0, 由于 F(t) =f(t)sint 所以 f()sin =0 ,又由(0, ),所以sin 0, 故f()=0下面证明又有(0, ), 使f()=0假设f(x)于(0, )内只有一个零点, 则f(x)于(0, )及( , )两个区间内符号必相反,否则不可能有 =0,而sin(x- )在(0, )及( , ) 内显然符号也相反,故f(x) sin(x- )于这两个区间内符号相同.又0, 连续,因此由上述定理可知0 (*)又由于=0则=cos-sin=0,这与 (*) 试矛盾,从而 f(x) 在 (0, )内除之外必有另一零点.推论1 （严格保序性）f（x），g（x）在a，b上连续，f（x）g（x）且f（x）不恒等于g（x）。则：推论2 设m,M分别是 连续函数f(x)在a,b上的最小值和最大值，且f(x)非常数。则：m(b-a)M(b-a) 由推论1，2可得： ， 2例2 设 f(x)在a,b上连续,f(0)=3,且对0，1上的一切 x,y成立| f(x)-f(y)| |x-y| 试估计积分 的值.解: 当 0x1 时,|f(x)-f(0)| |x-0|=x, 即|f(x)-3|x 3-x f(x) 3+x 有 .例3 设函数f(x)在取间0，1上连续且严格单调减。试证对任何a（0，1）有a.证 令x=at,则=a.由于a,t（0，1），故ata=a.2.1.1利用积分的有关性质可以证明许多有用的不等式（1）许瓦兹不等式（schwarz）f(x),g(x)在a,b上可积，试证因对任一常数t有:0则=+2t+0因此上面关于 的二次三项式不可能有不同的实根，故-40即 （2）由许瓦兹不等式可得：闵可夫斯基不等式（Minkowshi）f(x),g(x)都于a,b可积，证明： 两式相加有：+（3） 由许瓦兹不等式可以证明有些关系式的成立设f(x)在a,b上连续可微，|f(x)|的最大值为M,且 f(a)=0,试证:证明：对任意的xa，b,由许瓦兹不等式,都有=(b-a) 而 = 所以 (b-a) 上面不等式对一切xa，b成立，所以max, xa，b (b-a) 即: (b-a) 2.2积分第一中值定理:设f(x),g(x) 在a,b上连续,g(x)在a,b上不变号，则存在ya，b ，使：=f()证明过程参考华东师范大学数学系编著数学分析上册。 推论3 设f(x)在a,b上连续，则存在（a,b），使：=f()(b-a)例4 试证： 证法1（用定理2）=+=+=(-1)( -)其中：0y,t从而 0,即 证法 2（用推论1），令-x=t,，则=,=+=由于0xx,(sinx-cosx)0所以0例5（2004年考研题）设f(x)在0，连续。=0,=0试证 ：在（0，）至少存在两不同点y1，y2，使f(y2)=f(y2)=0证明 令F(x)=，则F(0)=F()=0而=F(x)cosx|+=F(y)siny=0,y(0,)推出 F(y)=0(若仅有y(0,),就不能推出 F(y)=0 , 因sin0=sin=0),由 F(0)=F(y)=F()=0,对F(x)在0,y,及y,上应用罗尔中值定理得：存在y10,y,y2y, ，使 f(y1)=f(y2)=0.证毕。上述讨论表明：由非严格不等试变为严格不等试，由闭区间缩小为开区间看似细节，但由此增加了解题的有用信息，其意义又不小。联想到：在级数中处理好区域内不满足格林公式或高斯公式条件的个别点，都是解决某些问题的关键。2.2.1积分第一中值定理的几何意义：若f(x)在a,b上连续，则y=f(x)在a,b 上的曲边梯形面积等于以推论3式所示的f() 为高,a,b为底的矩形面积，而 则可理解为f(x) 在区间a,b上所有函数的平均值，这是通常有限个算术平均值的推广。例6 试求f(x)=sinx在0, 的平均值。解 所求平均值为f(y)=- =2.2.2 第一中值定理与拉格朗日中值定理（或罗尔定理）之间存在着密切的联系。（1）当积分的被积函数f(x)是连续函数时，通过拉格朗日中值定理直接证明第一中值成立也是十分容易的。事实上，令F(x)=(axb )则F(a)=0,F(b)=由于f(x)于a,b连续，于(a,b)可导,且F(x)=f(x),由拉格朗日中值定理可知，存在 y(a,b) 使=F(b)-F(a)=F(y)(b-a)=f(y)(b-a)于是命题得证。（2）如果在满足f(x)于a,b连续的条件下，我们又可以通过第一中值定理来证明拉格朗日中值定理成立。事实上,因为 f(x) 于a,b上连续，所以由第一中值定理可知，存在y(a,b), 使 = f(y)(b-a) 另一方面 由于=f(b)-f(a)所以f(b)-f(a)= f(y)(b-a)即 = f(y),于是拉格朗日中值定理得证。（3）许多命题的证明既可以用积分值定理来证明，又可以用拉格朗日中值定理或罗尔定理来证明。例7 设 f(x)在a,b上连续,x。,试证=f(x。)法一 对积分作变换t=,则=n由第一中值定理知，存在x。,x。+，使=f()所以= nf()=f()因为( x。+)= x。,所以=x。，故由 f(x)的连续性得：= f()=f(x。)法二 取充分大的 n, 使 x。+ b,令F(x)=(naxnb),则=F(nx。+1)-F(nx。)由拉格朗日定理可知，存在（nx。，nx。+1），使F(nx。+1)-F(nx。)=F()=f(),由于f(x)连续,且=x。所以 =f()=f(x。)（4）有些命题的证明不仅可以用积分中值定理及拉格朗日定理，还可以由所给出条件用其它方法进行证明。例8 f(x)在a,b上连续，且对任何区间 (a0 ，由 f(x)在x。点连续性知，存在0, 当 x a，b，且|x- x。|f(x。)因此对任意给定的0（设0 的假设矛盾，于是当x a，b 时f(x)02.3 定积分第二中值定理：若f(x)在a,b上单调，g(x)可积，a，b,使=f(a) +f(b)特别：（1）若f(x)在a,b上单调递减且非负，g(x)可积则a，b,使=f(a) （2）若f(x)在a,b上单调递增且非负，g(x)可积，则a，b，使= f(b)2.4其它重要性质及应用2.4.1可导，可积，连续之间的关系 （1）若f(x)在a,b上可积，则F(x)=是a,b上的连续函数.（2）若f(x)在a,b中的点x处连续，则f(x)在x点可导，且F(x)=f(x)2.4.2由定积分定义灵活解题定义 如果f(x)在a,b可积，则对a,b给以特殊的分划，比如分成n 等份，在每个小区间上也可以对给以特殊的取法，比如取=a+k,则有: =利用此结论，我们可以利用定积分的值而求出对应的数列的极限值例9 求解 因为=所以