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不等式证明的微分法与积分法摘要 本文主要介绍微积分学的有关概念、定理以及性质在证明不等式证明中的应用，结合实例，讨论了不等式证明的微分法与积分法，以及相应的思路与技巧。关键词 不等式证明 微分法 积分法不等式是数学的重要内容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。证明不等式的方法也有很多中，除常见的一些初等方法外，还可利用高等数学工具来证明不等式，利用高等数学中的微积分思想可以使不等式的证法思路变得简单，技巧性降低。利用微积分的方法证明不等式，是根据不等式的特点，通常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论解决不等式的问题。一、不等式证明的微分法不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式; 二是考察函数的单调性或极值; 三是考察函数的凹凸性。1、微分定义法从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。例1 设，且，试证分析 观察命题的条件与结论,从导数的定义出发,结合重要极限的结论,解题方便简捷。证明 因为则，由导数定义 所以 即 .总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。2、函数单调性法函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。定理 设函数在区间上可导如果对任意的,恒有（或），则在内单调递增（或单调递减）。例2 求证，当时有 证明 设 因为 无法判定的符号 又因为 而 时 所以 （只当时等号成立） 所以 在单调增加，所以，即所以 在单调增加，所以 即 . 例3 求证 证明 设 ，则 由于，所以 是增函数，又因为 所以 .例4 设 ，证明 证明 要证原不等式成立只需证明 令，则 所以 单调递增，有因为 ，于是 因此单调递增，又因为所以当 时有 所以 所以 .总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要求不等式两边的函数必须可导；所构造的辅助函数要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。有时需要借助甚至更高阶导数的符号来判断的符号。3、微分中值定理法如果函拉格朗日中值定理 如果函数满足条件：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，则至少存在一点，使得 柯西中值定理 如果函数，满足条件：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，（3）在内每一点处，则至少存在一点，使得.例5 若 ，试证 证明 设 因为在上满足拉格朗日定理 所以 又因为 ，所以 所以，即 例6 设 ，证明不等式 证明 先证左边的不等式，设，根据拉格朗日中值定理得 因为 ,又，所以再证右边的不等式，设则 ，且于是 ，所以单调递增，所以当时，特别地，令，则有，即所以原不等式成立.例7 设都是可导函数，且证明：当时， 证明 因为，故函数单调增加所以当时，即又在上满足柯西中值定理条件故由柯西中值定理知从而，故原不等式成立. 例8 设，证明 证明 设函数，则在上由柯西中值定理有设，考察当时，从而，说明在时单调递减，所以，即，故总结:利用微分中值定理证明不等式时, 要抓住定理的核心, 在满足定理的两个条件的情况下, 主要是利用“ 存在一点”即 来确定不等式关系, 关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间,根据要证明结论的需要,对进行适当的放缩。4、函数极值与最值法 定理 设在的某邻域内可导，且，则若，则在处取极大值；若，则在处取极小值。例9 当，证明. 证明 设，令 得，故函数在处取得极大值，即，故不等式成立. 例10 证明：时， 证明 设，则 令得令，则，故当时，有例11 证明不等式 证明 设 则当时当时当时因此函数在处取得极大值也取得最大值故当时，即.总结：利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值。当题设满足下列条件时，宜用函数的极值、最值证明不等式（1）所设辅助函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数；（2）证明的只能是复合不等式，不能是纯粹不等式。5、 函数凸性法根据曲线凹凸性的定义，设在区间内二阶可导，对内的任意不同的两点（1）若，则在内上凹，有（1）若，则在内上凸，有詹森不等式 设为上的凸函数，则对任意，则有成立。若为严格凸函数，不全相等，则上式严格不等式成立。例12 若，且，试证 证明 令，则 因为下凸函数，对任意的有，即. 例13 已知，证明 证明 设则， 所以函数在是凸函数，即由詹森不等式所以.总结:若函数的图形在区间是凹(凸) 的,则对内任意两点和, 都有 ,从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式,特别是一类多元不等式,通常是根据欲证明不等式,构造辅助函数,利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性,从而证明不等式。6、Taylor公式法泰勒定理 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 例14 若在内，则对任意几个点，有不等式 成立. 证明 将在展开有 介于与之间，因为，所以（1）对（1）式中分别取 得 将上面个不等式两边分别相加可以得到下面的式子 所以即例15 有二阶导函数，且满足，求证. 证明 有泰勒公式知 所以 从而有所以时，.总结：泰勒公式是用一个多项式来逼近函数，而此多项式具有形式简单，易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中，使问题简单化。用泰勒公式证明命题时, 关键要注意一点, 即究竟要展开到第几阶, 而对于命题则没有统一的规律, 我们要根据题中的有关信息加以适当取舍。二、不等式证明的积分法不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。1、定积分定义法例16 设在连续，且，证明 证明 将区间进行等分，取因为两边取对数得两边在时取极限得即2、积分中值定理法积分中值定理 如果函数在上连续，则在内至少存在一点，使得例17 试证当时，. 证明 因为 令，由积分中值定理有 即 因为所以.3、原函数法例18 设在上连续，取正值且单调减少，证明 证明 做辅助函数，令则因为单调减少，故 则，由单调增加，有则成立例19 证明时， 证明 已知不等式（只有当时，等号成立） 在次是两端同时取上的积分，得再取上的积分得第三次取上的积分，可得即继续在上积分两次，可得 .总结：当命题中出现条件在上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定积分不等式） 转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质或肠06 5 解题。4、定积分保号性法性质 设在区间上都是可积函数，如果在区间满足则有例20 求证： 证明 因为 又因为，所以有上述性质有即.总结：使用上述性质证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一积分区间上两个函数的定积分,这时只须比较这两个函数在区间内的大小,再利用定积分的性质。5、积分不等式法用Schwarz不等式、Schwarz不等式等一些特殊的不等式来证明不等式。Schwarz不等式 设是上的可积函数，则有 Chebyshew不等式 设同为单调递减或单调递增函数，则有若其中一个是增函数，一个是减函数，则有.例21 设是上的下凸函数，是上的偶函数且在上递增，则证明 令，由于为偶函数所以易证有因为是下凸函数，于是由得即，所以都在上递增，由Chebyshew不等式得，即等号成立当且仅当，C为任意常数.6、积分几何意义法例22 设时，证明不等式 证明 ， ，由图1 有矩形面积不超过和的面积和，即，即.7、二重积分性质法例23 设均为上的单调不减连续函数证明 证明 由于同为单调不减函数，令总有由二重积分的保序性有即于是证明不等式是一个难点，也是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法。因此,我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想，充分利用微分与积分的知识来证明不等式,使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明,也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于抓住不等式的特点,从而迅速有效地解决问题。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M .北京:高等教育出版社,1981: 36- 38.2欧阳光中、姚允龙.数学分析M.上海：复旦大学出版社，1993.3吉米多维奇，数学分析习题集题解M，山东科学技术出版社，2003.4胡汉明不等式证明问题的思考方法J，数学通讯，2001( 9):2 0-235杨纯富.不等式证明的微分法J，渝西学院学报，2002（9）：15-21.6 陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用J ,昌雄