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1,1.9 连续函数的运算与 初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,4,此定理对计算某些极限是很方便的.,定理3,设函数,是由函数,与函数,复合而成,而函数,连续,则,证,5,将上两步合起来:,6,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续,3. 该定理的意义在于：极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层。,7,意义,例,解,可交换次序;,由,所以,2. 变量代换,的理论依据.,1. 在定理的条件下,8,例,解,这里,不连续,但,所以,9,例,解,10,利用连续性求极限练习,练习,解,练习,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t) x0时t0 于是,11,定理4,设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,是由连续函数,因此,复合而成,例,注意 定理4是定理3的特殊情况.,12,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),是连续的;,三、初等函数的连续性,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,讨论,不同值.,在它们的定义域内,13,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数 在定义区间内 连续,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注,在其定义域内不一定连续;,2. 初等函数求极限的方法,代入法.,14,例,例,解,解,15,函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域,一般应要求 g(x) 0.,幂指函数求极限,时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.,当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0,16,幂指函数求极限的方法 换底（e）公式法：,由定理 3 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：,17,(3),(2),(1),例,解:,原式,练习,18,四、小结,连续函数的和差积商的连续性;,复合函数的连续性:,初等函数的连续性:,求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性;,定义区间与定义域的区别;,19,思考题,解,20,作业,习题1-9 (68页),1. 3. 4. 5.,21,一、填空题:,练 习 题（基础型）,二、求下列各极限:,22,练习题答案,23,1.求下列极限,（提高型）,
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