八年级数学因式分解与提公因式法课件.ppt

15.4.1 因式分解与提公因式法,每一堂课都是一次知识的累积； 每一次举手都是一次勇气的锻炼； 让我们用勇气做翅膀，在知识的天空自由翱翔。,运用已学过的知识填空: x(x+1)= ; (x+1)(x-1)= ; (a+b)2= .,回忆,x2+x,x2-1,a2+2ab+b2, x2+x= ; x2-1= ; a2+2ab+b2= .,x(x+1),(x+1)(x-1),(a+b)2,右边的空你会填吗,探究,思考,观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间 的联系与区别吗？,回忆 x(x+1)= x2+x ; (x+1)(x-1)= x2-1 ; (a+b)2= a2+2ab+b2 .,探究 x2+x= x(x+1) ; x2-1= (x+1)(x-1) ; a2+2ab+b2= (a+b)2 .,把一个多项式化为几个整式的 乘积形式，像这样的式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。,乘积,x2-1 (x+1)(x-1),因式分解,整式乘法,练习一 理解概念,判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r),因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?,分解因式与整式乘法是互逆过程,几个整式的积 m(a+b+c),一个多项式 ma+mb+mc,整式乘法,因式分解,练习二.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么？ 1）x 2 y 2+1=(x +y )(x -y )+1 2）6x2y3=3xy2xy2 3）,(不是）,(不是）,(不是）,例: 找 3 x 2 6 xy 的公因式。,系数：最大 公约数。,3,字母：相同的字母,x,所以，公因式是3x。,指数：相同字母的最低次幂,1,这个多项式有什么特点？,相同因式m,多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。,找一找: 下列各多项式的公因式是什么？,（3）,（a）,（a2）,（2(m+n)）,（3mn）,（-2xy）,(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2,找公因式的方法： 系数取各系数 的最大公约数； 字母取各项的 相同字母，而且 各字母的指数取 次数最低的。,指出下列各多项式中各项的公因式 ax+ay-a （ ） 5x2y3-10x2y （ ） 24abc-9a2b2 （ ） m2n+mn2 （ ） x(x-y)2-y(x-y) ( ),独立练习 巩固新知,a,5x2y,3ab,mn,x-y,由m (a+b+c)=ma+mb+mc 可得ma+mb+mc= m (a+b+c),提公因式法： ma+mb+mc= m(a+b+c)这样把一个多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m另一个因式(a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商像这种分解因式的方法叫做提公因式法,8a3b2 + 12ab3c,例1: 把下列式子分解因式,分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。,注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式,整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。,练习1：将下列各式分解因式,(1)、3x+6 (2)、7x2-21x (3)、8a3b2c-12ab3c+abc (4)、-24x3-12x2+28x,独立练习 巩固新知,小明解的有误吗？,错误,注意：公因式要提尽。,诊断,正确解：原式=6xy(2x+3y),小亮解的有误吗？,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。,错误,注意：某项提出莫漏1。,正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1),小华解的有误吗？,提出负号时括号里的项没变号,错误,诊断,注意：首项有负常提负。,正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z),如何检查因式 分解是否正确？,想一想,在分解完因式后，按照整式乘法把因式再乘回去看结果是否与原式相等，如果相同就说明正确，否则就错了,下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？,选择题 下列分解因式正确的个数为 ( ) (1) 5y+20y = 5y(y+4y) (2) ab-2ab+ab = ab (a-2b) (3) a+3ab-2ac = -a (a+3b-2c) (4) -2x-12xy+8xy = - 2x(x+6y-4y3) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,A,请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：,(1) 2-a= _ (a-2),(2) b+a=_ (a+b),(3) (b-a)2=_(a-b)2,(4) -m-n=_ (m+n),(5) -s2+t2=_ (s2-t2),_,+,+,_,_,n 为偶数: (a-b)n =(b-a)n n 为奇数: (a-b)n=-(b-a)n,例2（1）把6(x-2)+x(2-x)分解因式。,(1) a(x-y)+b(y-x),(2) 6(m-n)3-12(n-m)2,练习:把下列各式分解因式：,(3) 2(a-b)2 - a+b,(4) 2(a-b)2 - (b-a)3,(2) 2a(b+c) - 3(b+c),例3 、先因式分解，再求值： 5x（a-2）+4x（2-a） 其中x=0.4,a=102.,例4.利用因式分解进行计算,2528 - 2512 - 256 32006 - 532005 + 632004,试一试 拓展应用,1. 20042+2004能被2005整除吗?,3. 计算: 7651722295 172,4.若x=-3,求20x2-60x的值,想一想(1) 能被100整除吗？,能被哪些正整数整除啊?,(2)2101+299能被5整除吗,为什么?,转化为有一因式为5的倍数,(3)224-1能被63和65整除吗?,(4) 已知a= ，b = - ，你能求出a2-2ab +b2的值吗？,(5)若x2+mxn能分解成(x2)(x5)，你能求出m，n的值吗？,1+x+x(1+x)=(1+x)+x(1+x） =(1+x)(1+x)=(1+x)2,从而1+x+x(1+x)+x (1+x)2= (1+x)2 +x (1+ x)2 = (1+x)2 (1+x)= (1+x)3,请仔细观察：,从上面的因式分解中，你发现什么规律了吗？由此你能分解下列多项式吗？猜一猜，试一试！,1） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +x (1+x)3+x (1+x)4,2） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 + x (1+x)n,提高题,下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式,哪些不是，为什么？,知道吗?,1、(2x1)2=4x24x+1； 2、a2+a2=a(a+1- ) ； 3、4x214xy+y2=(2x+1)(2x1) y(4xy)； 4、x24x+4=(x+2)2 5、13a252=13(a+2)(a2)； 6、3x2+9xy3x=3x(x+3y1),(不是）,(不是）,(不是）,(不是）,（是）,(是）,(1) (m+n)(mn) x22xy+y2 (2) (xy)2 x2+5x+6 (3) (x+2)(x+3) xy-y2 (4)y(x-y) m2n2,用心连一连,因式分解与整式的乘法是恒等变形, 且互为逆过程.,作业,9、-4x2+8ax+2x 10、-3ab + 6abx - 9aby,11、分解因式 （y-x）（a-b+c）+（x-y）（b-a