高等数学考前复习PPT.ppt

高等数学期末复习,考核内容和考核要求,考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用。,第1章 极限与连续,了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道数列极限的“”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限； 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系； 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法； 了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性； 了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型； 了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。,高等数学期末复习,第2章 导数与微分,理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系； 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则； 熟练掌握复合函数的求导法则； 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法； 知道一阶微分形式的不变性； 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。,高等数学期末复习,第3章 导数的应用,掌握洛比塔法则，能用它求“ ”、“ ”型不定式极限； 掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系； 掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点； 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线； 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,高等数学期末复习,第4章 不定积分,理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系； 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； 掌握第二换元积分法。,高等数学期末复习,第5章 积分及其应用,了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质； 了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数； 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式； 掌握定积分的换元积分法和分部积分法；,高等数学期末复习,高等数学1,第1章 极限与连续,本章重点：,极限的计算,了解极限的概念，知道左右极限的概念，,知道函数在点,处存在极限的充分必要,条件是,在,处的左右极限存在且相等。,关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：,（1）极限的四则运算法则：,运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，,且分母不为0。,当所求极限不满足条件时，,常根据函数的具体情况进行分解因式,（以消去,零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、,或分子分母同时除以,（分子分母同,趋于无穷大时）,等变形手段，,以使函数满足四则运算法则的条件。,（2）两个重要极限：,熟记,要注意这两个公式自变量的,变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：,高等数学1,（3）利用无穷小的性质计算：,无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、,积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。,（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。,（5）利用洛必塔法则计算：参看第3章的有关内容。,例1：求下列极限,解,（1）,分子、分母同除以,则,高等数学1,（2）,解,首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算,（3）,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,高等数学1,（4）,解,（5）,解,（6）,解,高等数学1,2、函数连续,理解函数在一点连续的概念，,它包括三层含义：,在,的一个邻域内有定义；,在,处存在极限；,极限值等于,在,处的函数值，,这三点缺一不可。,若函数,在,至少有一条不满足上述三条，,则函数在该点是间断的，,会求函数的间断,点。,了解函数在区间上连续的概念，,由函数在一点连续的定义，,会讨论分段函数的连续性。,知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，,两个连续函数的复合仍为,连续函数，,初等函数在其定义域内是连续函数。,知道闭区间上连续函数的性质（最大最,小值存在定理、零点定理、介值定理）。,例2,讨论函数,在,处的连续性。,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等，,故极限不存在，,因此函数,在,点间断。,第2章：导数与微分,高等数学1,理解导数的概念；,了解导数的几何意义；,会求曲线的切线和法线；,会用定义计算简单函数的导数；,知道可导与连续的关系。,高等数学1,在点,处可导是指极限,存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成,在点,处的导数,的几何意义是曲线,上点,处的切线斜率,曲线,在点,处的切线方程为,高等数学1,函数,在,点可导，则在,点连续。反之函数,在,点连续，在,点不一定可导。,了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。,熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。,微分四则运算法则与导数四则运算法则类似,熟练掌握复合函数的求导法则。,高等数学1,掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。,一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如,求,直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得,两端求导得,整理后便可得,高等数学1,若函数由参数方程,的形式给出，则有导数公式,了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。,高等数学1,综合练习,一、填空题,设,则,。,解：,故,曲线,在,处的切线方程是 。,解：,又有,故切线方程为,或,高等数学1,设,则,。,解：,故,二、单项选择题,曲线,在点（ ）处的切线斜率等于0。,A.,B.,C.,D.,解：,令,得,而,故选项C正确。,高等数学1,则,（ ）。,A.,B.,C.,D.,解：,故选项C正确。,3下列等式中正确的是（ ）,A.,B.,C.,D.,解：按微分法则进行运算得,高等数学1,故选项A正确。,高等数学1,三、计算题,计算下列函数的导数或微分：,设,求,解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则,由此得,高等数学1,设函数,由方程,确定，求,解：,等式两端对,求导得,整理得,方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,高等数学1,设函数,由参数方程,确定，求,解：,由参数求导法,求下列函数的二阶导数：,3,解：,解：,高等数学1,第3章：导数的应用,1)掌握洛必塔法则，会用它求,“,”、“,”型不定式的极限，以及简单的“,”、“,”型不定式的极限。,高等数学1,关于积分概念的理解和积分计算问题分析,一、原函数与不定积分,已知函数,在某区间上有定义，,如果存在函数,，,使得在该区间上的任一点处，,都有关系式,成立，,则称函数,是函数,在该区间上的一个原函数。,设函数,是函数,的一个原函数，,则,的全体原函数,(C为任意常数)，,称为,的不定积分。,记为：,性质：,（1）,（2）,高等数学1,二、不定积分的基本公式及运算性质,高等数学1,三、换元积分法,已知,则,_凑微分法,高等数学1,_第二换元积分分法,高等数学1,_分部积分法,高等数学1,四、曲边梯形的面积与定积分,定积分的性质,高等数学1,高等数学1,连续函数原函数存在定理,若,在a,b上连续，,则函数,在a,b上可积，,且,，,即,是,在a,b上的一个原函数。,微积分基本定理,设,在a,b上连续，,是,的任一原函数，,则,高等数学1,高等数学1,换元积分法和分部积分法,1换元积分