《证明复习课》PPT课件.ppt

第一章 证明（二）,复习课,北师大版实验教材数学九年级上册,角平分线的性质定理及逆定理 线段垂直平分线的性质定理及逆定理 等腰三角形与直角三角形 尺规作图,本章主要知识点,一、角平分线的性质定理及逆定理,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,1、角平分线性质定理,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.,2、角平分线性质定理的逆定理,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,3、三角形的角平分线性质,(2)求证:AB=AC+CD,例1：如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900, AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD=4cm,求AC的长;,(1)解：AD是ABC的角平分线，C=90，DEAB DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角) C=90，B= 90=45 BDE=9045=45 BE=DE(等角对等边) 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， AC=BC=CD+BD=(4+ )cm,(2)证明：由(1)的求解过程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD,例1.如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD,二、线段垂直平分线的性质定理及逆定理,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,1、线段垂直平分线性质定理,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段 的垂直平分线上.,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等.,2、线段垂直平分线定理的逆定理,3、三角形三边中垂线性质,例2：已知：如图，DE,DF分别是ABD和ACD的高，且DE=DF. 求证：AD垂直平分EF,A,B,C,E,F,D,证明:如图 DEAB,DFAC AED=AFD= 在Rt ADE和Rt ADF中， DE=DF,AD=AD Rt ADERt ADF AE=AF 点A在线段EF的垂直平分线上 又DE=DF 点D在线段EF的垂直平分线上 AD垂直平分EF,三、等腰三角形与直角三角形,（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：,性质： 等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合；（三线合一） 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60 ；,判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形。,（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：,（2）与直角三角形有关的结论：,勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL),例3：已知如图：在ABC中,ABC=450,H是 高AD、BE的交点 1)求证:BH=AC.,证明线段相等有两种方法: 1.当两条线段在不同三角形中,则证明两个三角形全等. 2.当两条线段在同一个三角形中,则利用等腰三角形的等角对等边.,2).若把BAC改为钝角,请你按题设要求在钝角三角形ABC中画出该题的图形？,结论BH=AC还成立吗?,一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果,这是解决这一类问题的基本思路.,例4.已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N. 求证：CM=2BM,B,A,C,M,N,证明：连接AM AB=AC, BAC=1200 C= B=300 MN是线段AB的垂直平分线 MA=MB MAB= B=300，即CAM=900 在Rt CAM中，由C= 300，得AM= CM BM= CM,即CM=2BM,C,A,B,M,N,D,例4.已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N. 求证：CM=2BM,四、尺规作图,1、线段的垂直平分线的作法 2、角的平分线的作法,例5：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分,已知：如图，AOB 求作：(1)射线OC，使AOC=BOC； (2)射线OD、OE，使AOD=DOC=CO